Example Question - function interval

Local Maximum of a Function

题目要求我们找出函数 \( f \) 在哪一个区间上保证有一个局部最大值。 首先，根据表中给出的 \( f' \) 的值，我们可以分析函数 \( f \) 的增减性。函数在其导数为正的区间上增加，在导数为负的区间上减少。因此，一个局部最大值出现在导数从正变成负的点上。 根据表格，我们可以看出： - 在 \( x = 1 \) 时前后导数的符号从正（\( f'(0) = 1 \)）变为负（\( f'(1) = -2 \)），因此 \( x = 1 \) 可能是局部最大值点。 - \( x = 2 \) 到 \( x = 3 \) 时，导数一直为负，因此在 \( (2,3) \) 区间内不可能有局部最大值。 - \( x = 3 \) 到 \( x = 4 \) 时，导数符号仍然为负。 - 在 \( x = 4 \) 时，导数符号并没有改变。虽然 \( f'(4) = 0 \)，但导数的符号没有变化，所以 \( x = 4 \) 不是局部最大值点。 所以，函数 \( f \) 保证在 \( x = 1 \) 处有局部最大值，对应的区间是 \( (0,1) \)。选择答案是 (A)。 这种问题的关键在于分析导数的符号变化，来找到函数从增加转变为减少的点，这些点可能是局部最大值点。