Example Question - sign change
Here are examples of questions we've helped users solve.
Finding Local Maximum Value of a Function
这个问题是关于一个函数 f(x) 的一阶导数 f'(x) 的值，并且询问函数 f(x) 在哪个给定的区间内有局部最大值。根据表格，我们可以看到 f'(x) 的值在不同的 x 值时是如何变化的。为了确定函数 f(x) 在何处可能有局部最大值，我们需要寻找一阶导数 f'(x) 的符号改变，从正变成负。 观察表格可知： - 当 x 从 0 变到 1 时，f'(x) 从 1 变为 -2，这意味着 f'(x) 经过了一个正到负的变化。 - 当 x 从 1 变到 2 时，f'(x) 保持负数。 - 当 x 从 2 变到 3 时，f'(x) 还是负数。 - 当 x 从 3 变到 4 时，f'(x) 从 0 变为 5，这意味着 f'(x) 经过了一个零到正的变化。 - 当 x 从 4 变到 5 时，f'(x) 从 5 变为 0，表明 f'(x) 经过了正到零的变化。 在函数 f(x) 的局部最大值点处，其一阶导数 f'(x) 会从正变成负（根据导数的性质）。 因此，根据 f'(x) 的正负变化，我们可以确定局部最大值出现在 x=0 到 x=1 这个区间内，因为导数在此区间从正变成了负。 所以答案是 （A）(0, 1)。
Identifying Local Maximum Values of a Function
为了判断一个函数f(x)在某个区间上是否有局部最大值，我们需要检查它的一阶导数f'(x)的符号变化。函数f(x)在某一点x = c处有局部最大值的一个充分条件是：f'(x)在x=c左侧为正，在x=c右侧为负。 根据题目中给出的一阶导数的值，我们可以发现在以下区间f'(x)的符号发生了变化： - 在x=1的时候，f'(x)从正数变为负数，这意味着函数f(x)可能在x=1处有局部最大值。 - 在x=3的时候，f'(x)从负数变为正数，这意味着函数f(x)可能在x=3处有局部最小值。 因此，只有选项B（1,2）的区间内包含了x=1这个转折点，所以答案是B，即函数f(x)在区间(1,2)内保证存在一个局部最大值。
Local Maximum of a Function
题目要求我们找出函数 \( f \) 在哪一个区间上保证有一个局部最大值。 首先，根据表中给出的 \( f' \) 的值，我们可以分析函数 \( f \) 的增减性。函数在其导数为正的区间上增加，在导数为负的区间上减少。因此，一个局部最大值出现在导数从正变成负的点上。 根据表格，我们可以看出： - 在 \( x = 1 \) 时前后导数的符号从正（\( f'(0) = 1 \)）变为负（\( f'(1) = -2 \)），因此 \( x = 1 \) 可能是局部最大值点。 - \( x = 2 \) 到 \( x = 3 \) 时，导数一直为负，因此在 \( (2,3) \) 区间内不可能有局部最大值。 - \( x = 3 \) 到 \( x = 4 \) 时，导数符号仍然为负。 - 在 \( x = 4 \) 时，导数符号并没有改变。虽然 \( f'(4) = 0 \)，但导数的符号没有变化，所以 \( x = 4 \) 不是局部最大值点。 所以，函数 \( f \) 保证在 \( x = 1 \) 处有局部最大值，对应的区间是 \( (0,1) \)。选择答案是 (A)。 这种问题的关键在于分析导数的符号变化，来找到函数从增加转变为减少的点，这些点可能是局部最大值点。
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