Example Question - radical expression
Here are examples of questions we've helped users solve.
Simplifying a Radical Expression
<p>The given expression is \( \sqrt[3]{-9} \times \sqrt[3]{\sqrt[3]{3}} \).</p> <p>Let's simplify the expression step by step.</p> <p>\( \sqrt[3]{-9} \) can be written as \( -\sqrt[3]{9} \) because \( \sqrt[3]{-1} \) equals -1.</p> <p>Now, \( -\sqrt[3]{9} \times \sqrt[3]{\sqrt[3]{3}} \) can be simplified further.</p> <p>Since \( \sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3^2} \), we can replace \( \sqrt[3]{9} \) with \( 3^{2/3} \), giving us:</p> <p>\( -3^{2/3} \times \sqrt[3]{\sqrt[3]{3}} \)</p> <p>We now focus on \( \sqrt[3]{\sqrt[3]{3}} \), which simplifies to \( \sqrt[3]{3^{1/3}} \).</p> <p>Using the property \( \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n} \), we get:</p> <p>\( \sqrt[3]{3^{1/3}} = 3^{(1/3)(1/3)} = 3^{1/9} \).</p> <p>So the expression becomes:</p> <p>\( -3^{2/3} \times 3^{1/9} \)</p> <p>Now, we combine the exponents of the same base (3) using the law of exponents \( a^m \times a^n = a^{m+n} \):</p> <p>\( -3^{2/3 + 1/9} \)</p> <p>We find a common denominator for the exponents:</p> <p>\( -3^{6/9 + 1/9} \)</p> <p>\( -3^{7/9} \)</p> <p>Therefore, the simplified expression is \( -3^{7/9} \).</p>
Integral of a Rational Function over a Radical
<p>\(\int \frac{1}{x^4 \sqrt{9 - x^2}} dx\)</p> <p>لحل هذا التكامل، نقوم عادةً بتعيين \(x = 3\sin(\theta)\) لتبسيط المعادلة تحت الجذر.</p> <p>إذًا، \(dx = 3\cos(\theta) d\theta\) و \(9 - x^2 = 9 - 9\sin^2(\theta)\).</p> <p>نستخدم هوية الجيب وجيب التمام \(1 - \sin^2(\theta) = \cos^2(\theta)\), لنحصل على:</p> <p>\(\sqrt{9 - x^2} = \sqrt{9\cos^2(\theta)} = 3|\cos(\theta)|\).</p> <p>وبما أن \(\theta\) هو الأركسين لـ \(x/3\), فإن \(\cos(\theta) \geq 0\) وبالتالي \(|\cos(\theta)| = \cos(\theta)\).</p> <p>التكامل يصبح:</p> <p>\(\int \frac{1}{(3\sin(\theta))^4 \cdot 3\cos(\theta)} \cdot 3\cos(\theta) d\theta\)</p> <p>\(\int \frac{1}{(3\sin(\theta))^4} d\theta\)</p> <p>\(\int \frac{1}{81\sin^4(\theta)} d\theta\)</p> <p>لتبسيط التعبير ن更 استخدم الهوية \(sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}\):</p> <p>\(\int \frac{4}{81(1 - \cos(2\theta))^2} d\theta\)</p> <p>ثم نستخدم تبسيطًا شائعًا ونقدم التكامل بصيغة تحويلات إلى كثيرات حدود:</p> <p>\(\int \frac{4}{81(1 - u)^2} \frac{du}{-2}\) حيث \(u = \cos(2\theta)\)</p> <p>\(-\frac{8}{81} \int \frac{1}{(1 - u)^2} du\)</p> <p>\(-\frac{8}{81} \left(-\frac{1}{1 - u}\right) + C\)</p> <p>\(\frac{8}{81(1 - \cos(2\theta))} + C\)</p> <p>ثم نعيد التعبير الى المتغير \(x\) باستخدام الهويات الأصلية:</p> <p>\(\frac{8}{81\left(1 - \left(1 - 2\sin^2\left(\frac{x}{3}\right)\right)\right)} + C\)</p> <p>\(\frac{8}{81\left(2\sin^2\left(\frac{x}{3}\right)\right)} + C\)</p> <p>\(\frac{4}{81\sin^2\left(\frac{x}{3}\right)} + C\)</p> <p>وهذا هو الحل النهائي للتكامل المعطى.</p>
Simplifying a Radical Expression
<p>\sqrt{8} + \sqrt{72} - \sqrt{32} - \sqrt{50} - \sqrt{2}</p> <p>\sqrt{4 \cdot 2} + \sqrt{36 \cdot 2} - \sqrt{16 \cdot 2} - \sqrt{25 \cdot 2} - \sqrt{2}</p> <p>2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} - 4\sqrt{2} - 5\sqrt{2} - \sqrt{2}</p> <p>(2 + 6 - 4 - 5 - 1)\sqrt{2}</p> <p>-2\sqrt{2}</p>
Square Root Calculation
<p>Para resolver la raíz cuadrada de 5439, podemos intentar factorizar el número hasta que se encuentre un cuadrado perfecto o utilizar una calculadora para una estimación. Sin embargo, para este ejemplo, utilizaremos la descomposición en factores primos para simplificar la raíz cuadrada tanto como sea posible.</p> <p>Descomponiendo 5439 en factores primos obtenemos:</p> <p>5439 = 3 * 17 * 107</p> <p>Como ninguno de los factores primos aparece dos veces, no hay cuadrados perfectos y no se puede simplificar la raíz cuadrada en términos de enteros. Por lo tanto, la solución final es simplemente la raíz cuadrada del número original:</p> <p>\(\sqrt{5439} \approx 73.752\)</p>
Simplify Radical and Fractional Expression
<p>\( \sqrt{8} + \frac{4}{\sqrt{2}} \)</p> <p>\( = \sqrt{4 \cdot 2} + \frac{4}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \)</p> <p>\( = 2\sqrt{2} + \frac{4\sqrt{2}}{2} \)</p> <p>\( = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} \)</p> <p>\( = 4\sqrt{2} \)</p>
Simplifying a Radical Expression
<p>\sqrt[3]{64} - (-\sqrt[3]{-64})</p> <p>= 4 - (-(-4))</p> <p>= 4 + 4</p> <p>= 8</p>
Finding the Equivalent Expression for a Radical Expression
\[ \mathrm{Given:} \sqrt[3]{x^9y^3} \quad \mathrm{and} \quad x, y \text{ are positive} \] \[ \sqrt[3]{x^9y^3} = \sqrt[3]{(x^3)^3y^3} = x^3 \cdot \sqrt[3]{y^3} = x^3y \] \[ \mathrm{Answer:} \quad x^3y \]
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