Example Question - normal distribution
Here are examples of questions we've helped users solve.
Calculating Average Diameter and Probabilities
1. Soit x le diamètre moyen en mm. Nous avons: (taille réduite de 1.1mm) / (taille originale) = (x - 1.1) / x Nous savons que la taille réduite est de 10% de moins, donc: 0,9 = (x - 1.1) / x Maintenant, résolvons pour x: 0,9x = x - 1.1 0,9x - x = -1.1 -0,1x = -1.1 x = -1.1 / -0,1 x = 11 Le diamètre moyen des disques est de 11 mm. 2. La probabilité qu'un échantillon ait un diamètre allant de 3,5 mm à 3,9 mm suit une distribution normale. Pour une taille choisie aléatoire, la probabilité est calculée par la fonction de répartition de la variable aléatoire normale. P(3,5 < X < 3,9) = P(X < 3,9) - P(X < 3,5) Nous devons standardiser ces valeurs pour utiliser la table de distribution normale. Z = (X - μ) / σ Ici, μ = 11 mm et σ est l'écart-type. Nous n'avons pas l'écart-type ici, donc nous ne pouvons pas calculer la Z-value et, par conséquent, la probabilité. 3. La probabilité suit le même principe. La probabilité qu'un échantillon ait un diamètre plus grand que 4,1 mm est calculée par: P(X > 4,1) = 1 - P(X ≤ 4,1) Tout comme ci-dessus, sans l'écart-type, nous ne pouvons pas calculer la probabilité exacte.
Hypothesis Testing for Population Mean with Normal Distribution
Para resolver este problema, necesitamos realizar una prueba de hipótesis para la media poblacional, utilizando la información proporcionada. Como es mencionado, se están utilizando diametros de agujeros que tienen una distribución normal con una media de 2 cm y una desviación típica de 0.06 cm. La hipótesis nula (H0) es que la media poblacional (μ) es igual a 2 cm, mientras que la hipótesis alternativa (Ha) es que la media poblacional es diferente de 2 cm. Esto es una prueba de dos colas. Los pasos son los siguientes: 1. Establecer las hipótesis: H0: μ = 2 Ha: μ ≠ 2 2. Establecer el nivel de significancia (\(\alpha\)): \(\alpha = 0.05\) 3. Calcular el estadístico de prueba (z). Para eso, usamos la fórmula: \[ z = \frac{\bar{x} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \] Donde \(\bar{x}\) es la media de la muestra, \(\mu\) es la media poblacional bajo la H0, \(\sigma\) es la desviación estándar poblacional, y \(n\) es el tamaño de la muestra. En este caso, \(\bar{x} = 1.95\), \(\mu = 2\), \(\sigma = 0.06\), y \(n = 6\). 4. Calcular el estadístico de prueba (z): \[ z = \frac{1.95 - 2}{\frac{0.06}{\sqrt{6}}} \] \[ z = \frac{-0.05}{\frac{0.06}{\sqrt{6}}} \] \[ z = \frac{-0.05}{0.02449} \] \[ z ≈ -2.04 \] 5. Determinar los valores críticos para \(\alpha = 0.05\) en una prueba de dos colas, que es \(\pm 1.96\) para una distribución normal. 6. Tomar una decisión respecto a la hipótesis nula basada en el estadístico de prueba y los valores críticos: Dado que el valor absoluto del estadístico de prueba \(z\) es mayor que el valor crítico 1.96 (\(|-2.04| > 1.96\)), rechazamos la hipótesis nula a favor de la hipótesis alternativa. Conclusión: Con un nivel de significancia del 0.05, hay suficiente evidencia estadística para afirmar que el diámetro medio de los agujeros es diferente a 2 cm.
Hypothesis Testing for Diameter of Holes in Metal Plate
Para resolver la prueba de hipótesis del diámetro de los agujeros en la placa de metal, primero necesitamos establecer nuestras hipótesis nula y alternativa, luego calcular el estadístico de prueba y finalmente tomar una decisión basada en el nivel de significancia dado. Las hipótesis se establecen así: H0: μ = 2 cm (la hipótesis nula indica que la media poblacional es de 2 cm) H1: μ ≠ 2 cm (la hipótesis alternativa indica que la media poblacional es diferente de 2 cm) El nivel de significancia es α = 0.05. Para realizar la prueba, asumimos que la distribución de los diámetros es normal y conocemos la desviación típica (σ=0.06 cm). Debido a que la desviación típica poblacional es conocida, podemos usar la distribución normal estándar para calcular el estadístico de prueba (z). La fórmula del estadístico de prueba para la media es: \( z = \frac{\bar{x} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \) Donde: - \( \bar{x} \) es la media muestral - μ es la media poblacional - σ es la desviación estándar poblacional - n es el tamaño de la muestra Sustituimos los valores que tenemos: \( \bar{x} = 1.95 \) cm (es la media de la muestra) μ = 2 cm (es la media poblacional bajo la hipótesis nula) σ = 0.06 cm (es la desviación estándar poblacional) n = 6 (es el tamaño de la muestra) Calculando el estadístico de prueba: \( z = \frac{1.95 - 2}{\frac{0.06}{\sqrt{6}}} = \frac{-0.05}{\frac{0.06}{\sqrt{6}}} = \frac{-0.05}{0.02449} ≈ -2.0412 \) Con el valor de z calculado, comparamos este resultado con los valores críticos de z para un nivel de significancia de 0.05 en una prueba de dos colas. Los valores críticos son aproximadamente ±1.96. Como la z calculada (-2.0412) es menor que -1.96, rechazamos la hipótesis nula (H0). Por lo tanto, concluimos que hay suficiente evidencia a nivel de significancia del 0.05 para afirmar que la media poblacional del diámetro no es igual a 2 cm.
Probability Calculations for Normal Distribution with Sample Size of 100
The image contains four separate parts (a through d) of a question regarding a normal distribution with a mean (μ) of 50 and a standard deviation (σ) of 4. It then asks about the probabilities related to a sample (n) of 100. Here are the answers to each of the parts as provided in the image: a. What is the probability that X is less than 49? The answer is given as P(X < 49) = 0.0062. b. What is the probability that X is between 49 and 50.5? The answer is given as P(49 < X < 50.5) = 0.8822. c. What is the probability that X is above 50.6? The answer is given as P(X > 50.6) = 0.0688. d. There is a 40% chance that X is above what value? The answer is given as X = 50.1012. The calculations for these probabilities would typically involve using the standard normal distribution (Z-distribution), where you would standardize the values using the formula \( Z = \frac{X - μ}{σ} \). Since the sample size is 100, the standard error of the mean (SEM) would also be involved, computed by \( SEM = \frac{σ}{\sqrt{n}} \). However, the full workings of these calculations are not shown in the image; it only provides the final numerical results. If you need further assistance on how to perform these calculations, please feel free to ask!
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