Example Question - double angle formula
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Solving Trigonometric Expression with Double Angle Formula
Para resolver esta expresión, primero podemos hacer uso de la fórmula de las funciones trigonométricas para el ángulo doble. La fórmula para el seno del ángulo doble es la siguiente: \[ \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) \] Podemos utilizar esta fórmula al reescribir la expresión dada como: \[ \sin(40°)\cos(10°) - 10°\cos(40°) \] Vamos a usar la fórmula del seno del ángulo doble identificando \(\theta\) con nuestro ángulo de 20°, tal que \(2\theta = 40°\). Así que, usando esta identificación tenemos: \[ 2\sin(20°)\cos(20°) \] Dividimos toda la expresión entre 2 para tener algo que se parezca al término dado: \[ \sin(40°) = 2\sin(20°)\cos(20°) \] \[ \frac{\sin(40°)}{2} = \sin(20°)\cos(20°) \] Ahora podemos escribir \(\sin(20°)\cos(20°)\) como \(\frac{\sin(40°)}{2}\) y tendremos: \[ \sin(40°)\cos(10°) = 2\left(\frac{\sin(40°)}{2}\right)\cos(10°) \] \[ \sin(40°)\cos(10°) = \sin(40°)\cos(10°) \] Esto nos indica que nuestra expresión original puede simplificarse usando la identidad del ángulo doble. Sin embargo, hay un error en la segunda parte de la expresión original, la cual tiene un \(10°\) que no parece tener sentido en un contexto trigonométrico estándar; probablemente sea un error tipográfico o una malinterpretación de la pregunta. En un contexto matemático correcto, esperaríamos ver una función o expresión trigonométrica, no un número multiplicando una función de manera aislada. Si asumimos que el \(10°\) es en realidad un término que debería estar dentro de una función trigonométrica o es un error y debe ser omitido, entonces podríamos proceder, pero sin más contexto o información correcta, no podemos resolver la expresión tal como está presentada. Por favor, verifica el problema y proporciona la expresión correcta.
Finding the Value of Cosine of Double Arcsine
Claro, vamos a encontrar el valor del coseno de menos dos veces el arco seno de tres quintos. Para esto, utilizaremos algunas identidades trigonométricas. Supongamos \(\theta = \arcsin(\frac{3}{5})\). Entonces, por definición, \(\sin(\theta) = \frac{3}{5}\). Debido a que utilizaremos el coseno de \(-2\theta\), trabajaremos primero encontrando el coseno de \(\theta\) con la ayuda de la identidad fundamental de la trigonometría \(\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\). \(1. \sin(\theta) = \frac{3}{5}\) \(2. \sin^2(\theta) = (\frac{3}{5})^2\) \(3. \sin^2(\theta) = \frac{9}{25}\) Aplicamos la identidad fundamental de la trigonometría: \(4. \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\) \(5. \frac{9}{25} + \cos^2(\theta) = 1\) \(6. \cos^2(\theta) = \frac{16}{25}\) \(7. \cos(\theta) = \pm\frac{4}{5}\) Como el arco seno de un valor está entre \(-\frac{\pi}{2}\) y \(\frac{\pi}{2}\), el coseno es positivo. Por lo tanto, \(8. \cos(\theta) = \frac{4}{5}\) Ahora, encontramos el coseno del doble ángulo utilizando la identidad para el coseno de un doble ángulo: \(9. \cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1\) Sustituimos \(\cos(\theta)\) con el valor que calculamos: \(10. \cos(2\theta) = 2(\frac{4}{5})^2 - 1\) \(11. \cos(2\theta) = 2(\frac{16}{25}) - 1\) \(12. \cos(2\theta) = \frac{32}{25} - 1\) \(13. \cos(2\theta) = \frac{32}{25} - \frac{25}{25}\) \(14. \cos(2\theta) = \frac{7}{25}\) Finalmente, como queremos el valor del coseno de menos dos veces \(\theta\), usamos la propiedad de paridad del coseno, que dice que \(\cos(-x) = \cos(x)\). Por tanto, \(15. \cos(-2\theta) = \cos(2\theta)\) \(16. \cos(-2\theta) = \frac{7}{25}\) Así que, el valor de \(\cos(-2\arcsin(\frac{3}{5}))\) es \(\frac{7}{25}\).
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