Finding the Value of Cosine of Double Arcsine
Claro, vamos a encontrar el valor del coseno de menos dos veces el arco seno de tres quintos. Para esto, utilizaremos algunas identidades trigonométricas.
Supongamos \(\theta = \arcsin(\frac{3}{5})\). Entonces, por definición, \(\sin(\theta) = \frac{3}{5}\). Debido a que utilizaremos el coseno de \(-2\theta\), trabajaremos primero encontrando el coseno de \(\theta\) con la ayuda de la identidad fundamental de la trigonometría \(\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\).
\(1. \sin(\theta) = \frac{3}{5}\)
\(2. \sin^2(\theta) = (\frac{3}{5})^2\)
\(3. \sin^2(\theta) = \frac{9}{25}\)
Aplicamos la identidad fundamental de la trigonometría:
\(4. \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\)
\(5. \frac{9}{25} + \cos^2(\theta) = 1\)
\(6. \cos^2(\theta) = \frac{16}{25}\)
\(7. \cos(\theta) = \pm\frac{4}{5}\)
Como el arco seno de un valor está entre \(-\frac{\pi}{2}\) y \(\frac{\pi}{2}\), el coseno es positivo. Por lo tanto,
\(8. \cos(\theta) = \frac{4}{5}\)
Ahora, encontramos el coseno del doble ángulo utilizando la identidad para el coseno de un doble ángulo:
\(9. \cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1\)
Sustituimos \(\cos(\theta)\) con el valor que calculamos:
\(10. \cos(2\theta) = 2(\frac{4}{5})^2 - 1\)
\(11. \cos(2\theta) = 2(\frac{16}{25}) - 1\)
\(12. \cos(2\theta) = \frac{32}{25} - 1\)
\(13. \cos(2\theta) = \frac{32}{25} - \frac{25}{25}\)
\(14. \cos(2\theta) = \frac{7}{25}\)
Finalmente, como queremos el valor del coseno de menos dos veces \(\theta\), usamos la propiedad de paridad del coseno, que dice que \(\cos(-x) = \cos(x)\). Por tanto,
\(15. \cos(-2\theta) = \cos(2\theta)\)
\(16. \cos(-2\theta) = \frac{7}{25}\)
Así que, el valor de \(\cos(-2\arcsin(\frac{3}{5}))\) es \(\frac{7}{25}\).
