Question - Finding the Length of Segment BD in a Special Right Triangle
Solution:
Para resolver este problema, primero observa que el triángulo $$ ABC $$ es un triángulo rectángulo con un ángulo de $$ 45^\circ $$ en $$ C $$ y un ángulo de $$ 90^\circ $$ en $$ A $$. Esto implica que el triángulo $$ ABC $$ es también un triángulo isósceles rectángulo dado que los ángulos en la base suman $$ 135^\circ $$, lo que deja $$ 45^\circ $$ para el ángulo restante en $$ B $$. Por lo tanto, $$ AC = AB = 9 $$ unidades.Para encontrar la longitud de $$ BD $$, observamos que $$ BD $$ es la hipotenusa del triángulo rectángulo $$ ABD $$, donde $$ AB $$ y $$ AD $$ son los catetos. Dado que el ángulo $$ BAD $$ es $$ 30^\circ $$, este es un triángulo rectángulo especial de $$ 30-60-90 $$. En un triángulo rectángulo de $$ 30-60-90 $$, la longitud de la hipotenusa es el doble de la longitud del cateto más corto, que opuesto al ángulo de $$ 30^\circ $$, y la longitud del cateto más largo es $$ \sqrt{3} $$ veces la longitud del cateto más corto.En este caso, $$ AB $$ es el cateto más largo, y $$ AD $$ es el cateto más corto; como hemos establecido que $$ AC = AB = 9 $$, y los triángulos $$ ABC $$ y $$ ABD $$ comparten el lado $$ AB $$, tenemos que $$ AD = AB/\sqrt{3} = 9/\sqrt{3} = 3\sqrt{3} $$ unidades (ya que dividimos entre $$ \sqrt{3} $$ para obtener el cateto opuesto al ángulo de $$ 30^\circ $$).Por lo tanto, la longitud de $$ BD $$ es el doble de la longitud de $$ AD $$:\[ BD = 2 \times AD = 2 \times 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \] unidades. Por lo que la medida del lado $$ BD $$ es de $$ 6\sqrt{3} $$ unidades.
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