Example Question - length of segment
Here are examples of questions we've helped users solve.
Finding the Length of Segment BD in a Special Right Triangle
Para resolver este problema, primero observa que el triángulo \( ABC \) es un triángulo rectángulo con un ángulo de \( 45^\circ \) en \( C \) y un ángulo de \( 90^\circ \) en \( A \). Esto implica que el triángulo \( ABC \) es también un triángulo isósceles rectángulo dado que los ángulos en la base suman \( 135^\circ \), lo que deja \( 45^\circ \) para el ángulo restante en \( B \). Por lo tanto, \( AC = AB = 9 \) unidades. Para encontrar la longitud de \( BD \), observamos que \( BD \) es la hipotenusa del triángulo rectángulo \( ABD \), donde \( AB \) y \( AD \) son los catetos. Dado que el ángulo \( BAD \) es \( 30^\circ \), este es un triángulo rectángulo especial de \( 30-60-90 \). En un triángulo rectángulo de \( 30-60-90 \), la longitud de la hipotenusa es el doble de la longitud del cateto más corto, que opuesto al ángulo de \( 30^\circ \), y la longitud del cateto más largo es \( \sqrt{3} \) veces la longitud del cateto más corto. En este caso, \( AB \) es el cateto más largo, y \( AD \) es el cateto más corto; como hemos establecido que \( AC = AB = 9 \), y los triángulos \( ABC \) y \( ABD \) comparten el lado \( AB \), tenemos que \( AD = AB/\sqrt{3} = 9/\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \) unidades (ya que dividimos entre \( \sqrt{3} \) para obtener el cateto opuesto al ángulo de \( 30^\circ \)). Por lo tanto, la longitud de \( BD \) es el doble de la longitud de \( AD \): \[ BD = 2 \times AD = 2 \times 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \] unidades. Por lo que la medida del lado \( BD \) es de \( 6\sqrt{3} \) unidades.
Mathematical Question on Geometric Shapes
Dựa trên hình ảnh bạn cung cấp, có một câu hỏi toán học được yêu cầu giải và một đề xuất với các phương án trắc nghiệm: Câu hỏi toán học trong ảnh là: "Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a và có góc BAD=60°. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SD. Mặt phẳng (P) qua MN và vuông góc với (SBD) cắt SC, AD lần lượt tại I và K. Biết SI=a và góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SCD) bằng 60°." Sau đó có một loạt các phương án trắc nghiệm cho câu hỏi về tính độ dài của đoạn thẳng IK. Để trả lời câu hỏi này: 1. Nhận định rằng ABCD là hình thoi với góc BAD = 60°, ta có \( AC = BD = \sqrt{2} * AD \) vì AD là đường cao trong tam giác đều cắt giữa hình thoi. Vì AC và BD là đường chéo của hình thoi và chúng vuông góc với nhau, ta có thể tìm được độ dài của chúng thông qua công thức hình học. 2. Mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của SB và SD, vì vậy nó cũng đi qua trung điểm của cạnh đó. 3. Do (P) vuông góc với (SBD), ta có \( IK \| BD \). 4. Từ thông tin SI = a và góc giữa (SAC) và (SCD) là 60°, chúng ta có thể liên hệ với độ dài cạnh hình thoi và tính được độ dài của các đoạn thẳng dựa trên các định lý hình học. Tuy nhiên, để có thể giải quyết bài toán này hoàn chỉnh, cần các bước toán học cụ thể hơn và việc vẽ hình đồ họa để hiểu rõ mối quan hệ giữa các điểm và mặt phẳng. Do đó, với dữ liệu cung cấp trên và giả định rằng các điểm, đoạn thẳng và mặt phẳng có mối liên hệ theo đúng như đề bài đề cập, cần thêm tính toán chi tiết để tìm câu trả lời chính xác cho độ dài IK trong các phương án A, B, C hoặc D.
Finding Length of Segment in Triangle using Proportionality Theorem
The image shows a large triangle \( \triangle RQU \) with a line segment \( \overline{ST} \) cutting it proportionally, which means \( \overline{ST} \) is parallel to \( \overline{QU} \). When a line segment cuts two sides of a triangle proportionally, the Triangle Proportionality Theorem (also known as the Basic Proportionality Theorem or Thales' Theorem) states that it divides those sides proportionally. Given in the diagram: - The length of \( \overline{RQ} \) is 16. - The length of \( \overline{QS} \) is 5. - The length of \( \overline{TU} \) is 8. We need to find the length of \( \overline{RS} \). Let's denote the length of \( \overline{RS} \) as \( x \). So \( \overline{RT} = x + 5 \). According to the Triangle Proportionality Theorem: \[ \frac{RQ}{QS} = \frac{RT}{TU} \] Now we can plug the values into the equation: \[ \frac{16}{5} = \frac{x + 5}{8} \] Now, solve for \( x \): \[ 128 = 5x + 25 \] Subtract 25 from both sides: \[ 128 - 25 = 5x \] \[ 103 = 5x \] Now divide both sides by 5 to solve for \( x \): \[ x = \frac{103}{5} \] \[ x = 20.6 \] So, the length of \( \overline{RS} \) is 20.6.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com