Question - Finding coefficients of a cubic polynomial
mathcubic polynomial equationssolving cubic polynomialcubic polynomial coefficientsfinding a, b, c values
Solution:
Pour résoudre cette question, nous allons utiliser les informations données par l'énoncé pour trouver les valeurs des coefficients a, b et c du polynôme $$ P(x) = ax^3 + bx^2 - 18ax + c $$. Il nous est donné que :\[ P\left(\frac{1}{2}\right) = 0 \]\[ P(0) = 8 \]\[ P(2) = 0 \]Commençons par utiliser $$ P(0) = 8 $$ pour trouver la valeur de c. En substituant x par 0 dans le polynôme $$ P(x) $$, nous obtenons :\[ P(0) = a(0)^3 + b(0)^2 - 18a(0) + c = c = 8 \]Donc, $$ c = 8 $$.Ensuite, utilisons le fait que $$ P\left(\frac{1}{2}\right) = 0 $$. En substituant x par $$\frac{1}{2}$$ dans le polynôme $$ P(x) $$, nous obtenons :\[ P\left(\frac{1}{2}\right) = a\left(\frac{1}{2}\right)^3 + b\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 18a\left(\frac{1}{2}\right) + 8 = 0 \]\[ \frac{1}{8}a + \frac{1}{4}b - \frac{9}{2}a + 8 = 0 \]\[ -\frac{7}{8}a + \frac{1}{4}b + 8 = 0 \]\[ -7a + 2b + 64 = 0 \]Il nous reste donc le système suivant à résoudre :\[ -7a + 2b + 64 = 0 \]\[ c = 8 \]Utilisons maintenant le fait que $$ P(2) = 0 $$. En substituant x par 2 dans le polynôme $$ P(x) $$, nous obtenons :\[ P(2) = a(2)^3 + b(2)^2 - 18a(2) + 8 = 0 \]\[ 8a + 4b - 36a + 8 = 0 \]\[ -28a + 4b + 8 = 0 \]Ainsi, nous avons désormais les deux équations suivantes :\[ -7a + 2b + 64 = 0 \]\[ -28a + 4b + 8 = 0 \]Divisons la deuxième équation par 4 pour simplifier le système :\[ -7a + b + 2 = 0 \]Maintenant, soustrayons cette nouvelle équation de la première :\[ -7a + 2b + 64 = 0 \]\[ -(-7a + b + 2) = 0 \]\[ 7a - b - 2 = 0 \]En additionnant ces deux équations, nous obtenons :\[ (-7a + 2b + 64) + (7a - b - 2) = 0 \]\[ b + 62 = 0 \]\[ b = -62 \]Maintenant que nous avons la valeur de b, substituons-la dans l'une des équations précédentes pour trouver a :\[ -7a + 2(-62) + 64 = 0 \]\[ -7a - 124 + 64 = 0 \]\[ -7a - 60 = 0 \]\[ -7a = 60 \]\[ a = -\frac{60}{7} \]\[ a = -\frac{60}{7} \]Nous avons donc trouvé les valeurs pour a, b et c :\[ a = -\frac{60}{7}, \quad b = -62, \quad c = 8 \]
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