Example Question - solving cubic polynomial
Here are examples of questions we've helped users solve.
Finding coefficients of a cubic polynomial
Pour résoudre cette question, nous allons utiliser les informations données par l'énoncé pour trouver les valeurs des coefficients a, b et c du polynôme \( P(x) = ax^3 + bx^2 - 18ax + c \). Il nous est donné que : \[ P\left(\frac{1}{2}\right) = 0 \] \[ P(0) = 8 \] \[ P(2) = 0 \] Commençons par utiliser \( P(0) = 8 \) pour trouver la valeur de c. En substituant x par 0 dans le polynôme \( P(x) \), nous obtenons : \[ P(0) = a(0)^3 + b(0)^2 - 18a(0) + c = c = 8 \] Donc, \( c = 8 \). Ensuite, utilisons le fait que \( P\left(\frac{1}{2}\right) = 0 \). En substituant x par \(\frac{1}{2}\) dans le polynôme \( P(x) \), nous obtenons : \[ P\left(\frac{1}{2}\right) = a\left(\frac{1}{2}\right)^3 + b\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 18a\left(\frac{1}{2}\right) + 8 = 0 \] \[ \frac{1}{8}a + \frac{1}{4}b - \frac{9}{2}a + 8 = 0 \] \[ -\frac{7}{8}a + \frac{1}{4}b + 8 = 0 \] \[ -7a + 2b + 64 = 0 \] Il nous reste donc le système suivant à résoudre : \[ -7a + 2b + 64 = 0 \] \[ c = 8 \] Utilisons maintenant le fait que \( P(2) = 0 \). En substituant x par 2 dans le polynôme \( P(x) \), nous obtenons : \[ P(2) = a(2)^3 + b(2)^2 - 18a(2) + 8 = 0 \] \[ 8a + 4b - 36a + 8 = 0 \] \[ -28a + 4b + 8 = 0 \] Ainsi, nous avons désormais les deux équations suivantes : \[ -7a + 2b + 64 = 0 \] \[ -28a + 4b + 8 = 0 \] Divisons la deuxième équation par 4 pour simplifier le système : \[ -7a + b + 2 = 0 \] Maintenant, soustrayons cette nouvelle équation de la première : \[ -7a + 2b + 64 = 0 \] \[ -(-7a + b + 2) = 0 \] \[ 7a - b - 2 = 0 \] En additionnant ces deux équations, nous obtenons : \[ (-7a + 2b + 64) + (7a - b - 2) = 0 \] \[ b + 62 = 0 \] \[ b = -62 \] Maintenant que nous avons la valeur de b, substituons-la dans l'une des équations précédentes pour trouver a : \[ -7a + 2(-62) + 64 = 0 \] \[ -7a - 124 + 64 = 0 \] \[ -7a - 60 = 0 \] \[ -7a = 60 \] \[ a = -\frac{60}{7} \] \[ a = -\frac{60}{7} \] Nous avons donc trouvé les valeurs pour a, b et c : \[ a = -\frac{60}{7}, \quad b = -62, \quad c = 8 \]
Solving a Cubic Polynomial Equation by Finding Roots
Sure, let's solve the equation \( h(x) = 3x^3 + 12x^2 + 3x - 18 \) by finding its roots. First, we try to identify if there is any common factor among the terms. Since \( 3 \) is a common factor, we can factor it out: \[ h(x) = 3(x^3 + 4x^2 + x - 6) \] Now, we need to factor the cubic polynomial inside the parentheses. To factor a cubic polynomial, we can try to find at least one real root by inspecting the polynomial or by using the rational root theorem, which suggests that any rational root, written in the form \( p/q \), should be a divisor of the constant term (-6) divided by a divisor of the leading coefficient (1). The possible rational roots are therefore the divisors of -6: \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \). We can perform synthetic division or use direct substitution to check each of these possible roots to find an actual root. If we find one root, say \( r \), then we can factor the cubic polynomial as \( (x - r) \) times a quadratic polynomial. Let's try some values: For \( x = 1 \): \[ 1^3 + 4(1)^2 + 1 - 6 = 1 + 4 + 1 - 6 = 0 \] This means that \( x = 1 \) is a root of the polynomial. We can perform synthetic division or use polynomial long division to divide the cubic term by \( (x - 1) \) to find the remaining quadratic. \[ x^3 + 4x^2 + x - 6 = (x - 1)(x^2 + 5x + 6) \] Next, we factor the quadratic polynomial: \[ x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) \] So now, we have: \[ h(x) = 3(x - 1)(x + 2)(x + 3) \] Therefore, the roots of \( h(x) \) are \( x = 1 \), \( x = -2 \), and \( x = -3 \). These are the values of \( x \) that will make the original equation \( h(x) = 0 \).
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com