Example Question - cubic polynomial coefficients
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Finding the Coefficients of a Cubic Polynomial
Nous avons un polynôme \( P(x) = ax^3 + bx^2 - 18x + c \), où \( a \), \( b \), et \( c \) sont des nombres réels. Nous devons déterminer les valeurs de \( a \), \( b \), et \( c \) en sachant que \( P\left(\frac{1}{2}\right) = 0 \), \( P(0) = 8 \) et \( P(2) = 0 \). En utilisant ces informations, nous pouvons former un système d'équations : 1. \( P\left(\frac{1}{2}\right) = 0 \) donne \( a\left(\frac{1}{2}\right)^3 + b\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 18\left(\frac{1}{2}\right) + c = 0 \) En simplifiant, nous obtenons \( \frac{a}{8} + \frac{b}{4} - 9 + c = 0 \) ou \( \frac{a}{8} + \frac{b}{4} + c = 9 \) (équation 1). 2. \( P(0) = 8 \) donne \( c = 8 \) (équation 2). 3. \( P(2) = 0 \) donne \( a(2)^3 + b(2)^2 - 18(2) + c = 0 \) En simplifiant, nous avons \( 8a + 4b - 36 + c = 0 \) Mais nous savons déjà que \( c = 8 \), donc \( 8a + 4b - 36 + 8 = 0 \) ou \( 8a + 4b = 28 \) ou \( 2a + b = 7 \) (équation 3). Maintenant, nous utilisons l'équation 2 pour remplacer \( c \) par \( 8 \) dans l'équation 1 : \( \frac{a}{8} + \frac{b}{4} + 8 = 9 \) donne \( \frac{a}{8} + \frac{b}{4} = 1 \) ou \( a + 2b = 8 \) (équation 4). Nous avons maintenant un système de deux équations avec deux inconnues (a, b) : - \( 2a + b = 7 \) (équation 3) - \( a + 2b = 8 \) (équation 4) Pour résoudre le système, nous pouvons utiliser une méthode d'élimination ou de substitution. Utilisons la méthode de substitution. Multiplions la deuxième équation par 2 et soustrayons la première équation de celle-ci : \( 2(a + 2b) = 2(8) \) \( 2a + 4b = 16 \) Et maintenant soustrayons équation 3 de cette nouvelle équation : \( (2a + 4b) - (2a + b) = 16 - 7 \) \( 3b = 9 \) \( b = 3 \) Maintenant, remplaçons \( b \) dans l'équation 3 pour trouver \( a \) : \( 2a + 3 = 7 \) \( 2a = 4 \) \( a = 2 \) Nous connaissons déjà \( c \) grâce à l'équation 2 : \( c = 8 \) Donc, les valeurs de \( a \), \( b \), et \( c \) sont respectivement 2, 3, et 8.
Finding coefficients of a cubic polynomial
Pour résoudre cette question, nous allons utiliser les informations données par l'énoncé pour trouver les valeurs des coefficients a, b et c du polynôme \( P(x) = ax^3 + bx^2 - 18ax + c \). Il nous est donné que : \[ P\left(\frac{1}{2}\right) = 0 \] \[ P(0) = 8 \] \[ P(2) = 0 \] Commençons par utiliser \( P(0) = 8 \) pour trouver la valeur de c. En substituant x par 0 dans le polynôme \( P(x) \), nous obtenons : \[ P(0) = a(0)^3 + b(0)^2 - 18a(0) + c = c = 8 \] Donc, \( c = 8 \). Ensuite, utilisons le fait que \( P\left(\frac{1}{2}\right) = 0 \). En substituant x par \(\frac{1}{2}\) dans le polynôme \( P(x) \), nous obtenons : \[ P\left(\frac{1}{2}\right) = a\left(\frac{1}{2}\right)^3 + b\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 18a\left(\frac{1}{2}\right) + 8 = 0 \] \[ \frac{1}{8}a + \frac{1}{4}b - \frac{9}{2}a + 8 = 0 \] \[ -\frac{7}{8}a + \frac{1}{4}b + 8 = 0 \] \[ -7a + 2b + 64 = 0 \] Il nous reste donc le système suivant à résoudre : \[ -7a + 2b + 64 = 0 \] \[ c = 8 \] Utilisons maintenant le fait que \( P(2) = 0 \). En substituant x par 2 dans le polynôme \( P(x) \), nous obtenons : \[ P(2) = a(2)^3 + b(2)^2 - 18a(2) + 8 = 0 \] \[ 8a + 4b - 36a + 8 = 0 \] \[ -28a + 4b + 8 = 0 \] Ainsi, nous avons désormais les deux équations suivantes : \[ -7a + 2b + 64 = 0 \] \[ -28a + 4b + 8 = 0 \] Divisons la deuxième équation par 4 pour simplifier le système : \[ -7a + b + 2 = 0 \] Maintenant, soustrayons cette nouvelle équation de la première : \[ -7a + 2b + 64 = 0 \] \[ -(-7a + b + 2) = 0 \] \[ 7a - b - 2 = 0 \] En additionnant ces deux équations, nous obtenons : \[ (-7a + 2b + 64) + (7a - b - 2) = 0 \] \[ b + 62 = 0 \] \[ b = -62 \] Maintenant que nous avons la valeur de b, substituons-la dans l'une des équations précédentes pour trouver a : \[ -7a + 2(-62) + 64 = 0 \] \[ -7a - 124 + 64 = 0 \] \[ -7a - 60 = 0 \] \[ -7a = 60 \] \[ a = -\frac{60}{7} \] \[ a = -\frac{60}{7} \] Nous avons donc trouvé les valeurs pour a, b et c : \[ a = -\frac{60}{7}, \quad b = -62, \quad c = 8 \]
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