Finding coefficients of a cubic polynomial
Pour résoudre cette question, nous allons utiliser les informations données par l'énoncé pour trouver les valeurs des coefficients a, b et c du polynôme \( P(x) = ax^3 + bx^2 - 18ax + c \). Il nous est donné que :
\[ P\left(\frac{1}{2}\right) = 0 \]
\[ P(0) = 8 \]
\[ P(2) = 0 \]
Commençons par utiliser \( P(0) = 8 \) pour trouver la valeur de c. En substituant x par 0 dans le polynôme \( P(x) \), nous obtenons :
\[ P(0) = a(0)^3 + b(0)^2 - 18a(0) + c = c = 8 \]
Donc, \( c = 8 \).
Ensuite, utilisons le fait que \( P\left(\frac{1}{2}\right) = 0 \). En substituant x par \(\frac{1}{2}\) dans le polynôme \( P(x) \), nous obtenons :
\[ P\left(\frac{1}{2}\right) = a\left(\frac{1}{2}\right)^3 + b\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 18a\left(\frac{1}{2}\right) + 8 = 0 \]
\[ \frac{1}{8}a + \frac{1}{4}b - \frac{9}{2}a + 8 = 0 \]
\[ -\frac{7}{8}a + \frac{1}{4}b + 8 = 0 \]
\[ -7a + 2b + 64 = 0 \]
Il nous reste donc le système suivant à résoudre :
\[ -7a + 2b + 64 = 0 \]
\[ c = 8 \]
Utilisons maintenant le fait que \( P(2) = 0 \). En substituant x par 2 dans le polynôme \( P(x) \), nous obtenons :
\[ P(2) = a(2)^3 + b(2)^2 - 18a(2) + 8 = 0 \]
\[ 8a + 4b - 36a + 8 = 0 \]
\[ -28a + 4b + 8 = 0 \]
Ainsi, nous avons désormais les deux équations suivantes :
\[ -7a + 2b + 64 = 0 \]
\[ -28a + 4b + 8 = 0 \]
Divisons la deuxième équation par 4 pour simplifier le système :
\[ -7a + b + 2 = 0 \]
Maintenant, soustrayons cette nouvelle équation de la première :
\[ -7a + 2b + 64 = 0 \]
\[ -(-7a + b + 2) = 0 \]
\[ 7a - b - 2 = 0 \]
En additionnant ces deux équations, nous obtenons :
\[ (-7a + 2b + 64) + (7a - b - 2) = 0 \]
\[ b + 62 = 0 \]
\[ b = -62 \]
Maintenant que nous avons la valeur de b, substituons-la dans l'une des équations précédentes pour trouver a :
\[ -7a + 2(-62) + 64 = 0 \]
\[ -7a - 124 + 64 = 0 \]
\[ -7a - 60 = 0 \]
\[ -7a = 60 \]
\[ a = -\frac{60}{7} \]
\[ a = -\frac{60}{7} \]
Nous avons donc trouvé les valeurs pour a, b et c :
\[ a = -\frac{60}{7}, \quad b = -62, \quad c = 8 \]
