Example Question - factoring a difference of squares
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Factoring a Difference of Squares and Prime Factors
Para resolver este problema, primero debemos factorizar la diferencia de cuadrados que se presenta en la expresión \( P(x,y) = (5x + 3y)^2 - (x - 2y)^2 \). La factorización de una diferencia de cuadrados tiene la forma general \( a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \), donde \( a = 5x + 3y \) y \( b = x - 2y \). Utilizando esta identidad, factorizamos la expresión: \[ P(x,y) = (5x + 3y + x - 2y)(5x + 3y - x + 2y) \] \[ P(x,y) = ((5x + x) + (3y - 2y))((5x - x) + (3y + 2y)) \] \[ P(x,y) = (6x + y)(4x + 5y) \] Ahora, para encontrar la suma de los factores primos, primero identificamos si \( 6x + y \) y \( 4x + 5y \) pueden ser factorizados en términos de números primos. Sin embargo, como estas expresiones incluyen variables, no podemos factorizarlas en factores primos numéricos. Los factores primos se refieren generalmente a números y no a expresiones algebraicas. Por lo tanto, la suma de factores primos no tiene sentido en este contexto, dado que los factores que hemos obtenido dependen de las variables \( x \) y \( y \), y no son números específicos los cuales podríamos descomponer en primos.
Factoring a Difference of Squares
The expression in the image is: \[ 100 - 121x^2 \] This is a difference of squares, which can be factored using the formula \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \). Here, \( a^2 = 100 \) and \( b^2 = 121x^2 \). Therefore, the square roots are \( a = 10 \) and \( b = 11x \). The factored form is: \[ (10 - 11x)(10 + 11x) \]
Factoring a Difference of Squares
The expression given in the image is: 100 - 121x^2 This is a difference of squares since 100 and 121x^2 are both perfect squares. It can be factored using the difference of squares factoring rule: a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) In this case: a^2 = 100, so a = 10 b^2 = 121x^2, so b = 11x Now let's apply the difference of squares: 100 - 121x^2 = (10)^2 - (11x)^2 = (10 + 11x)(10 - 11x) The factored form of the expression is: (10 + 11x)(10 - 11x)
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