Factor Polynomials Using the S.O.S Method
<p>a) $a = 1 - 6x + 12x^2 - 14x^3 + 3$</p>
<p>Đặt $a_1 = a - 3 = - 14x^3 + 12x^2 - 6x + 1$</p>
<p>Ta thấy $a_1$ có hệ số của $x^2$ là $12 = 3 \cdot 4$ và hệ số tự do là $1 = 1 \cdot 1$, chọn $a=3$ và $b=1$ để áp dụng phương pháp S.O.S:</p>
<p>$a_1 = -14x^3 + 4x^2 + 8x^2 - 6x + 2x - 1$</p>
<p>$a_1 = -2x(7x^2 - 2x - 2) + 1(4x^2 - 6x + 2)$</p>
<p>$a_1 = -2x(7x^2 - 2x - 2) + 1(2x - 1)^2$</p>
<p>Suy ra $a = a_1 + 3 = -2x(7x^2 - 2x - 2) + (2x - 1)^2 + 3$</p>
<p>b) $b = 4x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 1$</p>
<p>Tương tự như trên, nhận thấy hệ số $x^2$ là $5 = 1 \cdot 5$, hệ số tự do là $1 = 1 \cdot 1$, chọn $a=1$ và $b=5$ để áp dụng phương pháp S.O.S:</p>
<p>$b = (x^2 + x)^2 + (4x^3 + 3x^2 + 2x + 1)$</p>
<p>$b = x^2(x^2 + 2x + 1) + 4x(x^2 + x + 1) + (x^2 + x + 1)$</p>
<p>$b = x^2(x + 1)^2 + 4x(x + 1)^2 + (x + 1)^2$</p>
<p>$b = (x^2 + 4x + 1)(x + 1)^2$</p>
<p>c) $c = 3x^2 - 22xy + 11x + 37y^2 + 10$</p>
<p>Chọn $a=3$ và $b=37$ để áp dụng phương pháp S.O.S, nhận thấy hệ số $xy$ là $-22 = -1 \cdot 22$ và hệ số tự do là $10 = 2 \cdot 5$:</p>
<p>$c = (3x^2 - 11x) - (22xy - 37y^2) + (11x + 37y^2 + 10)$</p>
<p>$c = 11x(3x - 1) - 37y(2y + 1) + 11(3x + 10)$</p>
<p>$c = 11(3x - 1)x + 37(1 - 2y)y + 11(3x + 10)$</p>
<p>$c = 11x(3x - 1) + 37y(1 - 2y) + 11(3x + 10)$</p>
<p>d) $d = x^4 - 7x^3 + 14x^2 - 7x + 1$</p>
<p>Đặt $d_1 = d - 1 = x^4 - 7x^3 + 14x^2 - 7x$</p>
<p>Nhận thấy rằng $d_1$ gần giống với khai triển của $(x - 1)^4$, ta có:</p>
<p>$d_1 = (x - 1)^4 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1$</p>
<p>$d_1 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 - 3x^3 + 8x^2 - 3x$</p>
<p>$d_1 = (x - 1)^4 - 3x^3(1 - x) - 3x(1 - x)$</p>
<p>$d_1 = (x - 1)^4 - 3x(x^2 - x) - 3x(x - 1)$</p>
<p>$d_1 = (x - 1)^4 - 3x(x^2 - x - 1)$</p>
<p>Suy ra $d = d_1 + 1 = (x - 1)^4 - 3x(x^2 - x - 1) + 1$</p>
<p>e) $e = x^3 - 8x + 63$</p>
<p>Đây là dạng phương trình bậc 3 không có số hạng $x^2$, ta sẽ tìm ước số của $63$ để thử nghiệm và phân tích thành nhân tử:</p>
<p>Ta thấy $x = 3$ là một nghiệm của phương trình $x^3 - 8x + 63 = 0$, do đó:</p>
<p>$e = (x - 3)(Ax^2 + Bx + C)$</p>
<p>Ta có $(x - 3)(x^2 + 3x + 21)$</p>
<p>$e = (x - 3)(x^2 + 3x + 21)$</p>
<p>Vậy $e = (x - 3)(x^2 + 3x + 21)$</p>
