Example Question - cubic equation
Here are examples of questions we've helped users solve.
Cubic Equation Solution
<p>Данное уравнение является кубическим уравнением: \(x^3 - 9x^2 + 8x + 4 = 0\).</p> <p>Для решения этого уравнения первым шагом можно попытаться найти один из корней уравнения методом подбора. Возможные рациональные корни уравнения можно найти среди делителей свободного члена.</p> <p>Делители 4: ±1, ±2, ±4.</p> <p>Подставим данные значения в уравнение для проверки:</p> \[ f(-1) = (-1)^3 - 9(-1)^2 + 8(-1) + 4 = -1 - 9 - 8 + 4 \ne 0 \] \[ f(1) = (1)^3 - 9(1)^2 + 8(1) + 4 = 1 - 9 + 8 + 4 \ne 0 \] \[ f(-2) = (-2)^3 - 9(-2)^2 + 8(-2) + 4 \ne 0 \] \[ f(2) = (2)^3 - 9(2)^2 + 8(2) + 4 \ne 0 \] \[ f(-4) = (-4)^3 - 9(-4)^2 + 8(-4) + 4 \ne 0 \] \[ f(4) = (4)^3 - 9(4)^2 + 8(4) + 4 = 64 - 144 + 32 + 4 = 0 \] <p>Таким образом, \(x = 4\) является корнем уравнения.</p> <p>Производим деление многочлена \(x^3 - 9x^2 + 8x + 4\) на двучлен \(x - 4\) методом синтетического деления или делением уголком.</p> <p>Получаем квадратное уравнение как частное:</p> \[ (x - 4)(x^2 - 5x - 1) = 0 \] <p>Следующим шагом решаем квадратное уравнение \(x^2 - 5x - 1 = 0\). Корни квадратного уравнения можно найти через дискриминант:</p> \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 25 + 4 = 29 \] \[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{29}}{2} \] <p>Итак, корни кубического уравнения следующие:</p> \[ x_1 = 4, x_2 = \frac{5 + \sqrt{29}}{2}, x_3 = \frac{5 - \sqrt{29}}{2} \] <p>В заключение, уравнение имеет три корня.</p>
Factor Polynomials Using the S.O.S Method
<p>a) $a = 1 - 6x + 12x^2 - 14x^3 + 3$</p> <p>Đặt $a_1 = a - 3 = - 14x^3 + 12x^2 - 6x + 1$</p> <p>Ta thấy $a_1$ có hệ số của $x^2$ là $12 = 3 \cdot 4$ và hệ số tự do là $1 = 1 \cdot 1$, chọn $a=3$ và $b=1$ để áp dụng phương pháp S.O.S:</p> <p>$a_1 = -14x^3 + 4x^2 + 8x^2 - 6x + 2x - 1$</p> <p>$a_1 = -2x(7x^2 - 2x - 2) + 1(4x^2 - 6x + 2)$</p> <p>$a_1 = -2x(7x^2 - 2x - 2) + 1(2x - 1)^2$</p> <p>Suy ra $a = a_1 + 3 = -2x(7x^2 - 2x - 2) + (2x - 1)^2 + 3$</p> <p>b) $b = 4x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 1$</p> <p>Tương tự như trên, nhận thấy hệ số $x^2$ là $5 = 1 \cdot 5$, hệ số tự do là $1 = 1 \cdot 1$, chọn $a=1$ và $b=5$ để áp dụng phương pháp S.O.S:</p> <p>$b = (x^2 + x)^2 + (4x^3 + 3x^2 + 2x + 1)$</p> <p>$b = x^2(x^2 + 2x + 1) + 4x(x^2 + x + 1) + (x^2 + x + 1)$</p> <p>$b = x^2(x + 1)^2 + 4x(x + 1)^2 + (x + 1)^2$</p> <p>$b = (x^2 + 4x + 1)(x + 1)^2$</p> <p>c) $c = 3x^2 - 22xy + 11x + 37y^2 + 10$</p> <p>Chọn $a=3$ và $b=37$ để áp dụng phương pháp S.O.S, nhận thấy hệ số $xy$ là $-22 = -1 \cdot 22$ và hệ số tự do là $10 = 2 \cdot 5$:</p> <p>$c = (3x^2 - 11x) - (22xy - 37y^2) + (11x + 37y^2 + 10)$</p> <p>$c = 11x(3x - 1) - 37y(2y + 1) + 11(3x + 10)$</p> <p>$c = 11(3x - 1)x + 37(1 - 2y)y + 11(3x + 10)$</p> <p>$c = 11x(3x - 1) + 37y(1 - 2y) + 11(3x + 10)$</p> <p>d) $d = x^4 - 7x^3 + 14x^2 - 7x + 1$</p> <p>Đặt $d_1 = d - 1 = x^4 - 7x^3 + 14x^2 - 7x$</p> <p>Nhận thấy rằng $d_1$ gần giống với khai triển của $(x - 1)^4$, ta có:</p> <p>$d_1 = (x - 1)^4 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1$</p> <p>$d_1 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 - 3x^3 + 8x^2 - 3x$</p> <p>$d_1 = (x - 1)^4 - 3x^3(1 - x) - 3x(1 - x)$</p> <p>$d_1 = (x - 1)^4 - 3x(x^2 - x) - 3x(x - 1)$</p> <p>$d_1 = (x - 1)^4 - 3x(x^2 - x - 1)$</p> <p>Suy ra $d = d_1 + 1 = (x - 1)^4 - 3x(x^2 - x - 1) + 1$</p> <p>e) $e = x^3 - 8x + 63$</p> <p>Đây là dạng phương trình bậc 3 không có số hạng $x^2$, ta sẽ tìm ước số của $63$ để thử nghiệm và phân tích thành nhân tử:</p> <p>Ta thấy $x = 3$ là một nghiệm của phương trình $x^3 - 8x + 63 = 0$, do đó:</p> <p>$e = (x - 3)(Ax^2 + Bx + C)$</p> <p>Ta có $(x - 3)(x^2 + 3x + 21)$</p> <p>$e = (x - 3)(x^2 + 3x + 21)$</p> <p>Vậy $e = (x - 3)(x^2 + 3x + 21)$</p>
Solving a Cubic Equation by Factoring and Quadratic Formula
To solve the equation \(18x^3 + 12x^2 + 2x = 0\), you can start by factoring out the common factor, which is \(2x\): \(2x(9x^2 + 6x + 1) = 0\) Now, you have a product of two expressions that equals zero. According to the zero-product property, one or both of these expressions must equal zero for the equation to be true. We can set each expression equal to zero and solve for \(x\): 1. \(2x = 0\) gives us one solution: \(x = 0\) 2. \(9x^2 + 6x + 1 = 0\) is a quadratic equation. It doesn't factor nicely, so we can use the quadratic formula to find the solutions: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) where \(a = 9\), \(b = 6\), and \(c = 1\). Plugging in these values, we get: \(x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}\) \(x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 36}}{18}\) \(x = \frac{-6 \pm \sqrt{0}}{18}\) \(x = \frac{-6}{18}\) The discriminant (\(b^2 - 4ac\)) being zero indicates that there is only one real solution for this part of the equation, which is: \(x = \frac{-1}{3}\) So, the equation has the following solutions: \(x = 0\) and \(x = -\frac{1}{3}\)
Solving a Cubic Equation with a Given Value of x
The image shows two equations: 1) \( y = x^3 + 3x^2 - 24x + b \) 2) \( x_0 = 2 \) It appears that you have been provided with a cubic equation and a value for \( x_0 \), which typically would suggest either finding the value of y when \( x = x_0 \), or determining a constant in the equation, like 'b', based on some additional information about \( x_0 \). However, the context or the specific question you need to solve with these equations is not given. If the problem is to find the corresponding y-value (let's call it \( y_0 \)) when \( x = x_0 \), then we would substitute \( x = 2 \) into the first equation: \( y_0 = (2)^3 + 3(2)^2 - 24(2) + b \) \( y_0 = 8 + 3(4) - 48 + b \) \( y_0 = 8 + 12 - 48 + b \) \( y_0 = 20 - 48 + b \) \( y_0 = -28 + b \) So the \( y_0 \) value when \( x = 2 \) depends on the value of 'b'. However, if b is what you're supposed to find, then there is missing information. There needs to be additional information about the graph or a specific y-value when \( x = x_0 \) to find 'b'. If that's the case, please provide the additional information so I can assist further.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com