Question - Euler Method for Solving Differential Equations
Solution:
這是一個用 Euler 方法解微分方程的問題。給定的微分方程是：\[ \frac{dy}{dx} = 2xy - x \]並且初始條件為 $$ y(1) = 0 $$。問題是要利用 Euler 方法在 $$ x = 1 $$ 出發，並使用两个等大小的步伐來近似 $$ y(0) $$ 的值。Euler 方法中，我們將從初始條件開始創建一个序列的估計值，每一步的形式是：\[ y_{i+1} = y_i + hf(x_i, y_i) \]其中 h 是步長 (在這個例子中是 $$ x $$ 的改變量)，$$ f(x, y) $$ 是微分方程的右側 (在這個例子中是 $$2xy - x$$)，而 $$ y_i $$ 和 $$x_i$$ 是當前步的 $$ y $$ 和 $$ x $$ 的值。步伐大小是 $$ x $$ 变化量的一半。因為我們從 $$ x = 1 $$ 出發並回到 $$ x = 0 $$，因此每個步伐的大小应该是 $$ h = \frac{0 - 1}{2} = -0.5 $$。让我们开始计算：第一步，從 $$ x_0 = 1 $$ 和 $$ y_0 = 0 $$ 開始:\[ y_1 = y_0 + h(2x_0y_0 - x_0) \]\[ y_1 = 0 + (-0.5)(2*1*0 - 1) \]\[ y_1 = 0 - 0.5(-1) \]\[ y_1 = 0.5 \]這是在 $$ x = 0.5 $$ 的 $$ y $$ 的近似值。第二步，使用 $$ x_1 = 0.5 $$ 和 $$ y_1 = 0.5 $$:\[ y_2 = y_1 + h(2x_1y_1 - x_1) \]\[ y_2 = 0.5 + (-0.5)(2*0.5*0.5 - 0.5) \]\[ y_2 = 0.5 - 0.5(0.5 - 0.5) \]\[ y_2 = 0.5 - 0.5(0) \]\[ y_2 = 0.5 \]因此，根據 Euler 方法，$$ y(0) $$ 的近似值为$$ y_2 = 0.5 $$，选项是 (B) $$ \frac{1}{2} $$。
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