Example Question - euler method
Here are examples of questions we've helped users solve.
Approximating Solution of ODE using Euler Method
首先，我们需要了解Euler方法是一种数值解法，用于近似求解常微分方程的解。在这个问题中，我们有一个初值问题： \[\frac{dy}{dx} = 2x(y - x)\] 对于初值\(y(1) = 0\)。 由于我们需要用两个等步长的步骤从\(x = 1\) 开始来近似求解\(y(0)\)，我们可以让步长\(h\)为-0.5（因为我们需要回退到\(x = 0\)）。这样，我们将有\(x_0 = 1\) 和 \(y_0 = 0\)，接着 \(x_1 = 0.5\) 和 \(x_2 = 0\)。 用Euler方法，下一步\(y\)的值通过当前步的\(y\)值加上步长乘以该点的斜率给出。斜率由微分方程给出： \[y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n)\] 我们现在使用这种方法来近似\(y_1\)和\(y_2\)。 第一步： \[y_1 = y_0 + h \cdot f(x_0, y_0)\] \[y_1 = 0 + (-0.5) \cdot f(1, 0)\] \[f(1, 0) = 2 \cdot 1(0 - 1) = -2\] \[y_1 = 0 + (-0.5)(-2) = 1\] 第二步： \[y_2 = y_1 + h \cdot f(x_1, y_1)\] \[y_2 = 1 + (-0.5) \cdot f(0.5, 1)\] \[f(0.5, 1) = 2 \cdot 0.5(1 - 0.5) = 1 \cdot 0.5 = 0.5\] \[y_2 = 1 + (-0.5)(0.5) = 1 - 0.25 = 0.75\] 所以，使用Euler方法近似得到\(y(0) = y_2 = 0.75\)。 看选择题的选项，答案是(C) \(\frac{3}{4}\)。
Euler Method for Solving Differential Equations
這是一個用 Euler 方法解微分方程的問題。給定的微分方程是： \[ \frac{dy}{dx} = 2xy - x \] 並且初始條件為 \( y(1) = 0 \)。問題是要利用 Euler 方法在 \( x = 1 \) 出發，並使用两个等大小的步伐來近似 \( y(0) \) 的值。 Euler 方法中，我們將從初始條件開始創建一个序列的估計值，每一步的形式是： \[ y_{i+1} = y_i + hf(x_i, y_i) \] 其中 h 是步長 (在這個例子中是 \( x \) 的改變量)，\( f(x, y) \) 是微分方程的右側 (在這個例子中是 \(2xy - x\))，而 \( y_i \) 和 \(x_i\) 是當前步的 \( y \) 和 \( x \) 的值。 步伐大小是 \( x \) 变化量的一半。因為我們從 \( x = 1 \) 出發並回到 \( x = 0 \)，因此每個步伐的大小应该是 \( h = \frac{0 - 1}{2} = -0.5 \)。 让我们开始计算： 第一步，從 \( x_0 = 1 \) 和 \( y_0 = 0 \) 開始: \[ y_1 = y_0 + h(2x_0y_0 - x_0) \] \[ y_1 = 0 + (-0.5)(2*1*0 - 1) \] \[ y_1 = 0 - 0.5(-1) \] \[ y_1 = 0.5 \] 這是在 \( x = 0.5 \) 的 \( y \) 的近似值。 第二步，使用 \( x_1 = 0.5 \) 和 \( y_1 = 0.5 \): \[ y_2 = y_1 + h(2x_1y_1 - x_1) \] \[ y_2 = 0.5 + (-0.5)(2*0.5*0.5 - 0.5) \] \[ y_2 = 0.5 - 0.5(0.5 - 0.5) \] \[ y_2 = 0.5 - 0.5(0) \] \[ y_2 = 0.5 \] 因此，根據 Euler 方法，\( y(0) \) 的近似值为\( y_2 = 0.5 \)，选项是 (B) \( \frac{1}{2} \)。
Approximating Differential Equations with Euler Method
让我们使用Euler方法来近似差分方程的解。已知的差分方程是： \[ \frac{dy}{dx} = 2xy - x \] 并且给定了初值条件 \( y(1) = 0 \)。我们需要使用Euler方法从 \( x = 1 \) 开始，采取两步，每一步的大小为1，来估算 \( y(3) \)。 Euler方法根据下面的公式来估计函数的值： \[ y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n) \] 在这里，\( h \) 是步长（在这个问题中，步长 \( h = 1 \)），而 \( f(x, y) \) 是给定的差分方程右侧的表达式。 按照Euler方法的步骤，我们有： 1. 第一步，从 \( x = 1 \) 到 \( x = 2 \): - 使用初值条件：\( x_1 = 1 \)， \( y_1 = y(1) = 0 \)。 - 代入差分方程： \( f(x_1, y_1) = f(1, 0) = 2(1)(0) - 1 = -1 \)。 - 计算 \( y \) 的下一个值：\( y_2 = y_1 + h \cdot f(x_1, y_1) = 0 + 1 \cdot (-1) = -1 \)。 2. 第二步，从 \( x = 2 \) 到 \( x = 3 \): - 使用 \( x_2 = 2 \)， \( y_2 = -1 \)。 - 代入差分方程： \( f(x_2, y_2) = f(2, -1) = 2(2)(-1) - 2 = -6 \)。 - 计算 \( y \) 的下一个值：\( y_3 = y_2 + h \cdot f(x_2, y_2) = -1 + 1 \cdot (-6) = -7 \)。 所以用Euler方法估算的 \( y(3) \approx -7 \)。 问题的选择答案是： (A) \(\frac{9}{2}\) (B) \( -\frac{7}{4} \) (C) 3 (D) 2 正确答案是 \( y(3) = -7 \)，但这个值并不在提供的选项里。看上去像是题目有误或者是答案选项中有误。按照我们的计算，没有任何一个选项与计算结果相匹配。
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