Example Question - initial conditions

Euler Method for Solving Differential Equations

這是一個用 Euler 方法解微分方程的問題。給定的微分方程是： \[ \frac{dy}{dx} = 2xy - x \] 並且初始條件為 \( y(1) = 0 \)。問題是要利用 Euler 方法在 \( x = 1 \) 出發，並使用两个等大小的步伐來近似 \( y(0) \) 的值。 Euler 方法中，我們將從初始條件開始創建一个序列的估計值，每一步的形式是： \[ y_{i+1} = y_i + hf(x_i, y_i) \] 其中 h 是步長 (在這個例子中是 \( x \) 的改變量)，\( f(x, y) \) 是微分方程的右側 (在這個例子中是 \(2xy - x\))，而 \( y_i \) 和 \(x_i\) 是當前步的 \( y \) 和 \( x \) 的值。 步伐大小是 \( x \) 变化量的一半。因為我們從 \( x = 1 \) 出發並回到 \( x = 0 \)，因此每個步伐的大小应该是 \( h = \frac{0 - 1}{2} = -0.5 \)。 让我们开始计算： 第一步，從 \( x_0 = 1 \) 和 \( y_0 = 0 \) 開始: \[ y_1 = y_0 + h(2x_0y_0 - x_0) \] \[ y_1 = 0 + (-0.5)(2*1*0 - 1) \] \[ y_1 = 0 - 0.5(-1) \] \[ y_1 = 0.5 \] 這是在 \( x = 0.5 \) 的 \( y \) 的近似值。 第二步，使用 \( x_1 = 0.5 \) 和 \( y_1 = 0.5 \): \[ y_2 = y_1 + h(2x_1y_1 - x_1) \] \[ y_2 = 0.5 + (-0.5)(2*0.5*0.5 - 0.5) \] \[ y_2 = 0.5 - 0.5(0.5 - 0.5) \] \[ y_2 = 0.5 - 0.5(0) \] \[ y_2 = 0.5 \] 因此，根據 Euler 方法，\( y(0) \) 的近似值为\( y_2 = 0.5 \)，选项是 (B) \( \frac{1}{2} \)。