Question - Divisibility Rules in Different Number Systems
Solution:
Die Aufgaben in dem Bild befassen sich mit Teilbarkeitsregeln in verschiedenen Stellenwertsystemen.1. Welche Teilbarkeitsregeln sind Ihnen bekannt? Nennen, beschreiben und begründen Sie mindestens zwei Teilbarkeitsregeln.- Eine bekannte Teilbarkeitsregel ist die für die Zahl 2: Eine Zahl ist dann durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine gerade Zahl (0, 2, 4, 6, 8) ist. Dies liegt daran, dass alle geraden Zahlen Vielfache von 2 sind.- Eine Regel für die Teilbarkeit durch 3 ist, dass eine Zahl durch 3 teilbar ist, wenn die Summe ihrer Ziffern durch 3 teilbar ist. Diese Regel ergibt sich aus der Tatsache, dass 3 ein Teiler jedes Vielfachen von 9 ist und somit auch ein Teiler der Differenz einer Zahl und der Summe ihrer Ziffern sein muss.2. Für welche Teiler gelten diese Teilbarkeitsregeln bei einem Stellenwertsystem zur Basis 5, 9 oder 16?- Im Stellenwertsystem zur Basis 5 ist eine Zahl durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 ist (da 0 das letzte Zeichen im Stellenwertsystem zur Basis 5 ist).- In einem System zur Basis 9 ist eine Zahl durch 9 teilbar, wenn die Summe ihrer Ziffern durch 9 teilbar ist. Dies liegt daran, dass hier die Regel ähnlich funktioniert wie im dezimalen System.- Im hexadezimalen System (Basis 16) ist eine Zahl durch 16 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist.3. Wann gelten diese Teilbarkeitsregeln allgemein? Geben Sie die Regel für die allgemeine Basis n an.Allgemein gelten die Teilbarkeitsregeln wie folgt:- Eine Zahl ist durch die Basis n teilbar, wenn die letzte Ziffer 0 ist.- Für die Teilbarkeit durch die Basis n minus 1 (n-1) kann man prüfen, ob die Summe aller Ziffern durch n-1 teilbar ist, was aber nur in bestimmten Fällen wie der Basis 10 (Teilbarkeit durch 9) funktioniert.Für die Tabelle im Bild, hier sind die Regeln für die angegebene Basis:- Basis 5: Regel - Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 ist.- Basis 9: Regel - Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn die Summe ihrer Ziffern durch 9 teilbar ist.- Basis 16: Regel - Eine Zahl ist durch 16 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 ist. (Da dieses System hexadezimal ist, wäre die "letzte Ziffer" die 0 im Hexadezimalsystem, nicht im Dezimalsystem.)Diese Regeln gelten in anderen Zahlensystemen analog, allerdings mit Anpassungen entsprechend ihrer spezifischen Basis und Zeichensatz.
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