Example Question - number systems
Here are examples of questions we've helped users solve.
Converting Numbers to Decimal Using Horner's Method
Die Aufgabe verlangt, Zahlen, die in anderen Zahlensystemen gegeben sind, in das Dezimalsystem umzurechnen, und zwar sowohl nach dem Hornerverfahren (mit Klammerdarstellung) als auch nach dem Hornerschema. Ich werde das Hornerverfahren bzw. Hornerschema hier am Beispiel der ersten Zahl (a) demonstrieren, die im oktalen System (Basis 8) dargestellt ist: \( (6543)_8 \). Das Hornerverfahren (Klammerdarstellung) für das Umrechnen einer Zahl aus einem beliebigen Zahlensystem in das Dezimalsystem ist eine Methode "von links nach rechts", bei der jede Ziffer der Zahl mit der Basis des Systems potenziert und dann in einer geschachtelten Klammer aufsummiert wird. Das schaut so aus: \( (6543)_8 = 6 \cdot 8^3 + 5 \cdot 8^2 + 4 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 \) Nun berechnen wir die Potenzen und führen die Multiplikationen durch: \( = 6 \cdot 512 + 5 \cdot 64 + 4 \cdot 8 + 3 \cdot 1 \) \( = 3072 + 320 + 32 + 3 \) Und addieren alles zusammen, um das Ergebnis im Dezimalsystem zu erhalten: \( = 3072 + 320 + 32 + 3 = 3427 \) Damit ist die oktale Zahl \( (6543)_8 \) im Dezimalsystem \( 3427 \). Für das Hornerschema sieht das Prozedere so aus (vom höchsten zum niedrigsten Stellenwert): \[ \begin{align*} &\phantom{=} (_8)\downarrow\ \ \ (\times 8) \ \ (\rightarrow) \\ &(6)\ \ \ \ \ \ 6*8+5=53 \\ &(53)\ \ \ \ 53*8+4=428 \\ &(428)\ \ 428*8+3=3427 \end{align*} \] Das Ergebnis nach dem Hornerschema ist also ebenfalls \( 3427 \) im Dezimalsystem. Die anderen Zahlen in der Aufgabe sind entsprechend für ihre jeweiligen Systeme (Binär, Quinary und Hexadezimal) umzurechnen.
Mathematical Problem Solving in Different Number Systems
Selbstverständlich, ich werde Ihnen bei der Lösung der Mathematikaufgaben im Bild helfen. Im Bild gibt es zwei Aufgaben: 1. Lösen Sie die Aufgaben: (7₅ + 6₅), (10₅ + 10₅), (17₅ + 7₅), (7₅ ⋅ 5₅), (10₅ ⋅ 10₅). 2. Lösen Sie die folgenden Aufgaben schriftlich. Rechnen Sie im 8-er-System, ohne die Zahlen ins Dezimalsystem umzuwandeln. Formulieren Sie die Rechenschritte sprachlich. i. (352)₈ + (44)₈ ii. (456)₈ − (137)₈ iii. (14)₈ ⋅ (33)₈ iv. (714)₈ : (3)₈ Wir fangen mit der ersten Aufgabe an: a) (7₅ + 6₅): Da wir im 5er-System (Quinärsystem) rechnen, ist die größte Ziffer die 4. Sobald wir 5 erreichen, müssen wir einen Übertrag vornehmen. 7₅ + 6₅ = 13 im Dezimalsystem, aber im Quinärsystem müssen wir umwandeln: 13 (dezimal) = 2 * 5^1 + 3 * 5^0 = 23₅ Antwort: 7₅ + 6₅ = 23₅ b) (10₅ + 10₅): Im Quinärsystem entspricht 10₅ der Zahl 5 im Dezimalsystem. 5 (dezimal) + 5 (dezimal) = 10 (dezimal) = 20₅ Antwort: 10₅ + 10₅ = 20₅ c) (17₅ + 7₅): 17₅ entspricht im Dezimalsystem 1 * 5^1 + 7 * 5^0 = 5 + 7 = 12. 7₅ ist 7 im Dezimalsystem. 12 (dezimal) + 7 (dezimal) = 19 (dezimal) = 3 * 5^1 + 4 * 5^0 = 34₅ Antwort: 17₅ + 7₅ = 34₅ d) (7₅ ⋅ 5₅): Im Dezimalsystem haben wir 7 * 5 = 35, was wir wieder ins Quinärsystem umwandeln müssen: 35 (dezimal) = 1 * 5^2 + 3 * 5^1 + 0 * 5^0 = 130₅ Antwort: 7₅ ⋅ 5₅ = 130₅ e) (10₅ ⋅ 10₅): Im Dezimalsystem haben wir 5 * 5 = 25, was wir ins Quinärsystem umwandeln: 25 (dezimal) = 2 * 5^1 + 0 * 5^0 = 100₅ Antwort: 10₅ ⋅ 10₅ = 100₅ Weiter zur zweiten Aufgabe: i) (352)₈ + (44)₈: Beim Addieren im Oktalsystem ist zu beachten, dass die höchste Einzelziffer 7 ist und dass Überträge stattfinden, sobald eine Summe von 8 erreicht wird. 3 5 2 + 4 4 _______ 4 1 6 Antwort: (352)₈ + (44)₈ = (416)₈ ii) (456)₈ − (137)₈: Beim Subtrahieren im Oktalsystem müssen wir möglicherweise Ziffern ausleihen, wenn die obere Ziffer kleiner als die untere ist. 4 5 6 − 1 3 7 _________ 3 1 7 Antwort: (456)₈ − (137)₈ = (317)₈ iii) (14)₈ ⋅ (33)₈: Beim Multiplizieren im Oktalsystem multiplizieren wir jede Ziffer und addieren dann die Ergebnisse wie im Dezimalsystem, jedoch unter Beachtung des Oktalsystems. 1 4 × 3 3 _______ 3 4 2 (4×3) 4 2 (1×3, eins nach links verschoben) _________ 4 6 2 Antwort: (14)₈ ⋅ (33)₈ = (462)₈ iv) (714)₈ : (3)₈: Beim Dividieren im Oktalsystem teilen wir die Zahl wie im Dezimalsystem, allerdings mit Oktalzahlen. 7 1 4 : 3 = 2 3 4 (mit Rest 2) − 6 _____ 1 1 − 6 ______ 5 4 − 4 6 _______ 6 Antwort: (714)₈ : (3)₈ = (234)₈ Rest 2
Divisibility Rules in Different Number Systems
Die Aufgaben in dem Bild befassen sich mit Teilbarkeitsregeln in verschiedenen Stellenwertsystemen. 1. Welche Teilbarkeitsregeln sind Ihnen bekannt? Nennen, beschreiben und begründen Sie mindestens zwei Teilbarkeitsregeln. - Eine bekannte Teilbarkeitsregel ist die für die Zahl 2: Eine Zahl ist dann durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine gerade Zahl (0, 2, 4, 6, 8) ist. Dies liegt daran, dass alle geraden Zahlen Vielfache von 2 sind. - Eine Regel für die Teilbarkeit durch 3 ist, dass eine Zahl durch 3 teilbar ist, wenn die Summe ihrer Ziffern durch 3 teilbar ist. Diese Regel ergibt sich aus der Tatsache, dass 3 ein Teiler jedes Vielfachen von 9 ist und somit auch ein Teiler der Differenz einer Zahl und der Summe ihrer Ziffern sein muss. 2. Für welche Teiler gelten diese Teilbarkeitsregeln bei einem Stellenwertsystem zur Basis 5, 9 oder 16? - Im Stellenwertsystem zur Basis 5 ist eine Zahl durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 ist (da 0 das letzte Zeichen im Stellenwertsystem zur Basis 5 ist). - In einem System zur Basis 9 ist eine Zahl durch 9 teilbar, wenn die Summe ihrer Ziffern durch 9 teilbar ist. Dies liegt daran, dass hier die Regel ähnlich funktioniert wie im dezimalen System. - Im hexadezimalen System (Basis 16) ist eine Zahl durch 16 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist. 3. Wann gelten diese Teilbarkeitsregeln allgemein? Geben Sie die Regel für die allgemeine Basis n an. Allgemein gelten die Teilbarkeitsregeln wie folgt: - Eine Zahl ist durch die Basis n teilbar, wenn die letzte Ziffer 0 ist. - Für die Teilbarkeit durch die Basis n minus 1 (n-1) kann man prüfen, ob die Summe aller Ziffern durch n-1 teilbar ist, was aber nur in bestimmten Fällen wie der Basis 10 (Teilbarkeit durch 9) funktioniert. Für die Tabelle im Bild, hier sind die Regeln für die angegebene Basis: - Basis 5: Regel - Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 ist. - Basis 9: Regel - Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn die Summe ihrer Ziffern durch 9 teilbar ist. - Basis 16: Regel - Eine Zahl ist durch 16 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 ist. (Da dieses System hexadezimal ist, wäre die "letzte Ziffer" die 0 im Hexadezimalsystem, nicht im Dezimalsystem.) Diese Regeln gelten in anderen Zahlensystemen analog, allerdings mit Anpassungen entsprechend ihrer spezifischen Basis und Zeichensatz.
Converting Decimal Numbers to Other Bases
Die Aufgabe lautet, die Dezimalzahl 12599 in andere Zahlensysteme mit verschiedenen Basen umzuwandeln. Wir sollen die Restsatzbeweise verwenden. Ich werde Ihnen zeigen, wie man diese Zahl in das Zahlensystem mit der Basis 4 umwandelt, als Beispiel: Basis 4: Um 12599 in das Basis-4-System umzuwandeln, teilen wir die Zahl durch 4 und notieren den Rest. Dann teilen wir das Ergebnis immer wieder durch 4, bis wir 0 erreichen. 12599 ÷ 4 = 3149 Rest 3 3149 ÷ 4 = 787 Rest 1 787 ÷ 4 = 196 Rest 3 196 ÷ 4 = 49 Rest 0 49 ÷ 4 = 12 Rest 1 12 ÷ 4 = 3 Rest 0 3 ÷ 4 = 0 Rest 3 Man beginnt unten bei der letzten Division und liest alle Reste nach oben hin ab, um die Zahl in der neuen Basis zu schreiben. Folglich ist die Darstellung von 12599 im Basis-4-System: \(3(4^6) + 0(4^5) + 1(4^4) + 1(4^3) + 0(4^2) + 3(4^1) + 3(4^0) \) oder einfacher als: \( 3011303_4 \) Das bedeutet, dass die Zahl 12599 im Dezimalsystem der Zahl 3011303 im Quartärsystem (Basis 4) entspricht. Sie können diesen Vorgang für jede der anderen angegebenen Basen wiederholen, indem Sie 12599 jeweils durch die gewünschte Basis teilen. Beachten Sie, dass für Basen größer als 10 Buchstaben als Ziffern für die Zahlen größer als 9 verwendet werden, ähnlich wie im Hexadezimalsystem.
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