Divisibility Rules in Different Number Systems
Die Aufgaben in dem Bild befassen sich mit Teilbarkeitsregeln in verschiedenen Stellenwertsystemen.
1. Welche Teilbarkeitsregeln sind Ihnen bekannt? Nennen, beschreiben und begründen Sie mindestens zwei Teilbarkeitsregeln.
- Eine bekannte Teilbarkeitsregel ist die für die Zahl 2: Eine Zahl ist dann durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine gerade Zahl (0, 2, 4, 6, 8) ist. Dies liegt daran, dass alle geraden Zahlen Vielfache von 2 sind.
- Eine Regel für die Teilbarkeit durch 3 ist, dass eine Zahl durch 3 teilbar ist, wenn die Summe ihrer Ziffern durch 3 teilbar ist. Diese Regel ergibt sich aus der Tatsache, dass 3 ein Teiler jedes Vielfachen von 9 ist und somit auch ein Teiler der Differenz einer Zahl und der Summe ihrer Ziffern sein muss.
2. Für welche Teiler gelten diese Teilbarkeitsregeln bei einem Stellenwertsystem zur Basis 5, 9 oder 16?
- Im Stellenwertsystem zur Basis 5 ist eine Zahl durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 ist (da 0 das letzte Zeichen im Stellenwertsystem zur Basis 5 ist).
- In einem System zur Basis 9 ist eine Zahl durch 9 teilbar, wenn die Summe ihrer Ziffern durch 9 teilbar ist. Dies liegt daran, dass hier die Regel ähnlich funktioniert wie im dezimalen System.
- Im hexadezimalen System (Basis 16) ist eine Zahl durch 16 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist.
3. Wann gelten diese Teilbarkeitsregeln allgemein? Geben Sie die Regel für die allgemeine Basis n an.
Allgemein gelten die Teilbarkeitsregeln wie folgt:
- Eine Zahl ist durch die Basis n teilbar, wenn die letzte Ziffer 0 ist.
- Für die Teilbarkeit durch die Basis n minus 1 (n-1) kann man prüfen, ob die Summe aller Ziffern durch n-1 teilbar ist, was aber nur in bestimmten Fällen wie der Basis 10 (Teilbarkeit durch 9) funktioniert.
Für die Tabelle im Bild, hier sind die Regeln für die angegebene Basis:
- Basis 5: Regel - Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 ist.
- Basis 9: Regel - Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn die Summe ihrer Ziffern durch 9 teilbar ist.
- Basis 16: Regel - Eine Zahl ist durch 16 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 ist. (Da dieses System hexadezimal ist, wäre die "letzte Ziffer" die 0 im Hexadezimalsystem, nicht im Dezimalsystem.)
Diese Regeln gelten in anderen Zahlensystemen analog, allerdings mit Anpassungen entsprechend ihrer spezifischen Basis und Zeichensatz.
