Question - Complex Numbers and Geometric Representation

Le système donné est:

\[\left\{ \begin{array}{c} z - \overline{z} = 2 + 3i \\ \|z\| = 2\sqrt{2} \end{array} \right.\]

Soit \( z = x + yi \), alors on a:

\[ x+yi - (x-yi) = 2+3i \]

\[ 2yi = 2+3i \]

\[ yi = 1 + \frac{3}{2}i \]

Donc, \( y = 1 \) et \( 2y = 3 \), par conséquent \( y = \frac{3}{2} \).

On remplace \( y \) par \( \frac{3}{2} \) dans la deuxième équation \( \|z\| = 2\sqrt{2} \):

\[ \|z\| = \|x+\frac{3}{2}i\| \]

\[ x^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \left(2\sqrt{2}\right)^2 \]

\[ x^2 + \frac{9}{4} = 8 \]

\[ x^2 = 8 - \frac{9}{4} \]

\[ x^2 = \frac{32}{4} - \frac{9}{4} \]

\[ x^2 = \frac{23}{4} \]

\[ x = \pm \sqrt{\frac{23}{4}} \]

\[ x = \pm \frac{\sqrt{23}}{2} \]

Les points \( A \) et \( B \), représentés respectivement par \( z = \frac{\sqrt{23}}{2} + \frac{3}{2}i \) et \( z = -\frac{\sqrt{23}}{2} + \frac{3}{2}i \), se trouvent sur le cercle centré à l'origine et de rayon \( 2\sqrt{2} \).

Pour montrer que \( AC \) est parallèle à l'axe des réels, il suffit de vérifier que les parties imaginaires des points \( A \) et \( C \) sont égales, et pour \( BD \) parallèle à l'axe des imaginaires, vérifier que les parties réelles sont égales.

Les calculs de module et d'argument de \( \overline{z} \) sont similaires à ceux de \( z \), et la nature du quadrilatère formé par \( A, B, C, D \) dépend des relations entre les points que l’on vient de déterminer.