Example Question - geometric representation
Here are examples of questions we've helped users solve.
Complex Numbers and Geometric Representation
<p>Le système donné est:</p> <p>\[\left\{ \begin{array}{c} z - \overline{z} = 2 + 3i \\ \|z\| = 2\sqrt{2} \end{array} \right.\]</p> <p>Soit \( z = x + yi \), alors on a:</p> <p>\[ x+yi - (x-yi) = 2+3i \]</p> <p>\[ 2yi = 2+3i \]</p> <p>\[ yi = 1 + \frac{3}{2}i \]</p> <p>Donc, \( y = 1 \) et \( 2y = 3 \), par conséquent \( y = \frac{3}{2} \).</p> <p>On remplace \( y \) par \( \frac{3}{2} \) dans la deuxième équation \( \|z\| = 2\sqrt{2} \):</p> <p>\[ \|z\| = \|x+\frac{3}{2}i\| \]</p> <p>\[ x^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \left(2\sqrt{2}\right)^2 \]</p> <p>\[ x^2 + \frac{9}{4} = 8 \]</p> <p>\[ x^2 = 8 - \frac{9}{4} \]</p> <p>\[ x^2 = \frac{32}{4} - \frac{9}{4} \]</p> <p>\[ x^2 = \frac{23}{4} \]</p> <p>\[ x = \pm \sqrt{\frac{23}{4}} \]</p> <p>\[ x = \pm \frac{\sqrt{23}}{2} \]</p> <p>Les points \( A \) et \( B \), représentés respectivement par \( z = \frac{\sqrt{23}}{2} + \frac{3}{2}i \) et \( z = -\frac{\sqrt{23}}{2} + \frac{3}{2}i \), se trouvent sur le cercle centré à l'origine et de rayon \( 2\sqrt{2} \).</p> <p>Pour montrer que \( AC \) est parallèle à l'axe des réels, il suffit de vérifier que les parties imaginaires des points \( A \) et \( C \) sont égales, et pour \( BD \) parallèle à l'axe des imaginaires, vérifier que les parties réelles sont égales.</p> <p>Les calculs de module et d'argument de \( \overline{z} \) sont similaires à ceux de \( z \), et la nature du quadrilatère formé par \( A, B, C, D \) dépend des relations entre les points que l’on vient de déterminer.</p>
Constructing Points in Vector Geometry
<p>Soit \( \vec{w} \) et \( \vec{v} \) deux vecteurs donnés sur un plan. Pour placer les points E, F, et G, on suit les étapes suivantes :</p> <p>1. Choisir un point arbitraire A comme point de départ pour la construction.</p> <p>2. Construire le point E tel que \( \overrightarrow{AE} = \vec{w} + \vec{v} \) en ajoutant les vecteurs \( \vec{w} \) et \( \vec{v} \) en partant du point A.</p> <p>3. Construire le point F tel que \( \overrightarrow{EF} = \vec{u} + \vec{v} \), où \( \vec{u} \) doit être défini ou donné dans le problème. On ajoute ces vecteurs en partant du point E que nous avons déjà placé.</p> <p>4. Construire le point G en se servant de la relation \( \overrightarrow{FG} = \vec{u} + \vec{v} \) en ajoutant les vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) en partant du point F que nous avons placé à l'étape précédente.</p> <p>Note: Comme les vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{A} \) ne sont pas définis dans le problème, on suppose qu'ils sont donnés ou que leurs valeurs seront choisies convenablement pour la construction.</p>
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