Complex Numbers and Geometric Representation
<p>Le système donné est:</p>
<p>\[\left\{ \begin{array}{c}
z - \overline{z} = 2 + 3i \\
\|z\| = 2\sqrt{2}
\end{array} \right.\]</p>
<p>Soit \( z = x + yi \), alors on a:</p>
<p>\[ x+yi - (x-yi) = 2+3i \]</p>
<p>\[ 2yi = 2+3i \]</p>
<p>\[ yi = 1 + \frac{3}{2}i \]</p>
<p>Donc, \( y = 1 \) et \( 2y = 3 \), par conséquent \( y = \frac{3}{2} \).</p>
<p>On remplace \( y \) par \( \frac{3}{2} \) dans la deuxième équation \( \|z\| = 2\sqrt{2} \):</p>
<p>\[ \|z\| = \|x+\frac{3}{2}i\| \]</p>
<p>\[ x^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \left(2\sqrt{2}\right)^2 \]</p>
<p>\[ x^2 + \frac{9}{4} = 8 \]</p>
<p>\[ x^2 = 8 - \frac{9}{4} \]</p>
<p>\[ x^2 = \frac{32}{4} - \frac{9}{4} \]</p>
<p>\[ x^2 = \frac{23}{4} \]</p>
<p>\[ x = \pm \sqrt{\frac{23}{4}} \]</p>
<p>\[ x = \pm \frac{\sqrt{23}}{2} \]</p>
<p>Les points \( A \) et \( B \), représentés respectivement par \( z = \frac{\sqrt{23}}{2} + \frac{3}{2}i \) et \( z = -\frac{\sqrt{23}}{2} + \frac{3}{2}i \), se trouvent sur le cercle centré à l'origine et de rayon \( 2\sqrt{2} \).</p>
<p>Pour montrer que \( AC \) est parallèle à l'axe des réels, il suffit de vérifier que les parties imaginaires des points \( A \) et \( C \) sont égales, et pour \( BD \) parallèle à l'axe des imaginaires, vérifier que les parties réelles sont égales.</p>
<p>Les calculs de module et d'argument de \( \overline{z} \) sont similaires à ceux de \( z \), et la nature du quadrilatère formé par \( A, B, C, D \) dépend des relations entre les points que l’on vient de déterminer.</p>
