Question - Combinatorics Example: Counting Possibilities
Solution:
In dieser Aufgabe geht es um Kombinatorik.Zuerst lösen wir Teil e) der Frage:Herr Meier hat eine Auswahl an fünf verschiedenen Farben und möchte verschiedene Pullover ohne wiederholende Farbkombinationen stricken. Für einen Pullover mit drei Farben gibt es $$ _5C_3 $$ Kombinationsmöglichkeiten, wobei $$ _nC_r $$ die Anzahl der Kombinationen von n Elementen zur Auswahl von r ohne Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge ist (d.h. die binomiale Koeffizientenformel).Die Formel für den binomischen Koeffizienten lautet:\[ _nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!} \]Wenn wir unsere Zahlen einsetzen, erhalten wir:\[ _5C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \]Herr Meier kann also 10 verschiedene Pullover stricken, ohne die Farben zu wiederholen.Nun, Teil f) der Frage:Familie Meier möchte ihren Garten mit Zäunen, Bäumen, Blumenkübeln und Blumensteinen gestalten. Im Baumarkt gibt es 3 verschiedene Zäune, 15 Bäume, 4 verschiedene Blumenkübel und 20 Blumensteine.Jedes Element wird separat ausgewählt, was bedeutet, dass die Anzahl der Gestaltungsmöglichkeiten das Produkt der einzelnen Auswahlmöglichkeiten ist:Anzahl der Möglichkeiten = Anzahl der Zäune * Anzahl der Bäume * Anzahl der Blumenkübel * Anzahl der BlumensteineAnzahl der Möglichkeiten = 3 * 15 * 4 * 20Wenn wir das ausrechnen, erhalten wir:Anzahl der Möglichkeiten = 3600Familie Meier hat also 3600 verschiedene Gestaltungsmöglichkeiten für ihren Garten.
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