Example Question - binomial coefficient
Here are examples of questions we've helped users solve.
Calculating Shortest Path Combinations in Grid Pattern
Die Aufgabe auf dem Bild ist Übung 4.3, welche lautet: "Manche modernen Reibradstreifen haben ein Gittermuster als Straßenkreuz. Wie viele verschiedene (kürzeste) Wege könnte der Taxifahrer in Straßenkreuz?" Um diese Frage zu beantworten, schauen wir uns das Bild an. Das Gittermuster kann als ein Raster von Punkten interpretiert werden, zwischen denen der Taxifahrer sich bewegen kann. Wir können sehen, dass es 6 vertikale Streifen gibt und die Straße insgesamt 3 Abschnitte überquert. Zudem gibt es am Anfang und Ende ein einzelnes Feld. Der Taxifahrer muss von dem Punkt links oben zu dem Punkt rechts unten kommen. Wenn wir das als ein Koordinatengitter interpretieren, bedeutet dies, dass der Taxifahrer insgesamt 5 Schritte nach unten und 6 Schritte nach rechts machen muss, um das Ziel zu erreichen. Es ist wichtig zu bemerken, dass die Schritte nur nach rechts oder unten gemacht werden können, da das der Bewegungsrichtung im Gitter entspricht. Die Gesamtzahl der Wege ist die Anzahl verschiedener Kombinationsmöglichkeiten dieser Schritte. Das ist ein klassisches Problem der Kombinatorik und kann durch die binomiale Koeffizienten oder "n choose k" Formel gelöst werden, wobei n die Gesamtzahl der Schritte ist (in diesem Fall 11) und k die Anzahl der Schritte in einer Richtung (hier zum Beispiel 5 für die Schritte nach unten). Die Formel dafür lautet: \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) In unserem Fall wäre das: \( \binom{11}{5} = \frac{11!}{5!(11-5)!} = \frac{11!}{5! \cdot 6!} \) Nun berechnen wir diesen Ausdruck: \( \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \) Dies vereinfacht sich zu: \( \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{120} \) \( \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \) \( 11 \cdot 7 \cdot 3 \) \( 231 \) Es gibt also 231 verschiedene kürzeste Wege, die der Taxifahrer nehmen könnte.
Combinatorics Example: Counting Possibilities
In dieser Aufgabe geht es um Kombinatorik. Zuerst lösen wir Teil e) der Frage: Herr Meier hat eine Auswahl an fünf verschiedenen Farben und möchte verschiedene Pullover ohne wiederholende Farbkombinationen stricken. Für einen Pullover mit drei Farben gibt es \( _5C_3 \) Kombinationsmöglichkeiten, wobei \( _nC_r \) die Anzahl der Kombinationen von n Elementen zur Auswahl von r ohne Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge ist (d.h. die binomiale Koeffizientenformel). Die Formel für den binomischen Koeffizienten lautet: \[ _nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!} \] Wenn wir unsere Zahlen einsetzen, erhalten wir: \[ _5C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \] Herr Meier kann also 10 verschiedene Pullover stricken, ohne die Farben zu wiederholen. Nun, Teil f) der Frage: Familie Meier möchte ihren Garten mit Zäunen, Bäumen, Blumenkübeln und Blumensteinen gestalten. Im Baumarkt gibt es 3 verschiedene Zäune, 15 Bäume, 4 verschiedene Blumenkübel und 20 Blumensteine. Jedes Element wird separat ausgewählt, was bedeutet, dass die Anzahl der Gestaltungsmöglichkeiten das Produkt der einzelnen Auswahlmöglichkeiten ist: Anzahl der Möglichkeiten = Anzahl der Zäune * Anzahl der Bäume * Anzahl der Blumenkübel * Anzahl der Blumensteine Anzahl der Möglichkeiten = 3 * 15 * 4 * 20 Wenn wir das ausrechnen, erhalten wir: Anzahl der Möglichkeiten = 3600 Familie Meier hat also 3600 verschiedene Gestaltungsmöglichkeiten für ihren Garten.
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