Example Question - permutations and combinations
Here are examples of questions we've helped users solve.
Solving a Chair Color Combination Problem
Hier ist die Lösung für das gegebene Problem: a) Wenn jede Kombination erlaubt ist, d.h. auch viermal dieselbe Farbe, dann können wir jede der fünf verschiedenen Farben (Blau, Türkis, Lila, Gelb, Grün und Rot) für jede der vier Stuhlbeine auswählen. Da es für jedes Bein 5 Möglichkeiten gibt, und es insgesamt 4 Beine sind, ist die Anzahl der möglichen Kombinationen 5^4, also: 5 * 5 * 5 * 5 = 625 unterschiedliche Stühle. b) Wenn höchstens drei Farben gleich sein sollen, müssen wir die Möglichkeiten, bei denen alle vier Farben gleich sind (also 5 Möglichkeiten), von der Gesamtzahl an Möglichkeiten, die wir in a) gefunden haben, abziehen. Also: 625 - 5 = 620 unterschiedliche Stühle. c) Wenn genau vier verschiedene Farben verwendet werden sollen, müssen wir die vier Farben ohne Wiederholung auswählen. Es gibt fünf Farben, aus denen wir wählen können, und wir wollen vier davon ohne Wiederholung auswählen. Dies können wir durch eine Kombination ohne Wiederholung berechnen, die als 5 über 4, oder \(\binom{5}{4}\), geschrieben wird. Da \(\binom{5}{4}\) gleich 5 ist (da aus 5 Farben nur eine ausgewählt wird und die restlichen 4 verwendet werden), und da die Reihenfolge, in der die Farben auf die Beine aufgetragen werden, relevant ist (Unterscheidung durch Permutationen), multiplizieren wir die 5 Kombinationen mit der Anzahl der möglichen Permutationen von 4 Beinen, was 4! (4 Fakultät) ist. \(\binom{5}{4} \cdot 4! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120\) unterschiedliche Stühle mit genau vier verschiedenen Farben.
Combinatorics: Selection of Chairperson and Deputy
Die Aufgabenstellung lautet: 1. Ein Ausschuss aus vier Frauen und drei Männern wählt eine Person zum Vorsitz und eine Person zur Stellvertretung. a. Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt? b. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn beide gleichen Geschlechts sein sollen? c. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn die beiden unterschiedlichen Geschlechts sein sollen? d. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn mindestens eine Frau dabei sein soll? e. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn mindestens ein Mann dabei sein soll? Um die Fragen zu beantworten, verwenden wir die Grundlagen der Kombinatorik. a. Um die Gesamtzahl der Möglichkeiten zu finden, jede beliebige Person zum Vorsitz und eine andere zur Stellvertretung zu wählen, multiplizieren wir die Anzahl der Personen insgesamt mit der Anzahl der verbleibenden Optionen für den Stellvertreter. Mit insgesamt 7 Personen gibt es: 7 Möglichkeiten für den Vorsitz und dann 6 verbleibende Möglichkeiten für die Stellvertretung, also insgesamt 7 * 6 = 42 Möglichkeiten. b. Um nur Personen des gleichen Geschlechts auszuwählen, können wir entweder 2 Frauen oder 2 Männer wählen: 4 Frauen -> 4 Möglichkeiten für den Vorsitz, 3 verbleibende für die Stellvertretung: 4 * 3 = 12 Möglichkeiten. 3 Männer -> 3 Möglichkeiten für den Vorsitz, 2 verbleibende für die Stellvertretung: 3 * 2 = 6 Möglichkeiten. Addiere die Möglichkeiten: 12 + 6 = 18 Möglichkeiten insgesamt. c. Für gemischte Geschlechter wählen wir zuerst eine Person eines Geschlechts und dann eine Person des anderen Geschlechts: 4 Frauen und 3 Männer -> 4 * 3 = 12 Möglichkeiten für eine Frau gefolgt von einem Mann. 3 Männer und 4 Frauen -> 3 * 4 = 12 Möglichkeiten für einen Mann gefolgt von einer Frau. Addiere die Möglichkeiten: 12 + 12 = 24 Möglichkeiten insgesamt. d. Für mindestens eine Frau im Amt können wir die Gesamtzahl der Möglichkeiten (42) mit der Anzahl der Möglichkeiten vergleichen, bei denen keine Frau involviert ist (also zwei Männer gewählt werden), und den Unterschied berechnen: 2 Männer -> 3 * 2 = 6 Möglichkeiten. Mindestens eine Frau -> 42 - 6 = 36 Möglichkeiten. e. Für mindestens einen Mann im Amt ist der Ansatz ähnlich wie bei (d): 2 Frauen -> 4 * 3 = 12 Möglichkeiten. Mindestens ein Mann -> 42 - 12 = 30 Möglichkeiten. Bitte beachten Sie, dass für eine detaillierte Antwort auf Teil 2 der Frage der zweite Teil des Bildes mit mehr Informationen erforderlich wäre.
Combinatorics Example: Counting Possibilities
In dieser Aufgabe geht es um Kombinatorik. Zuerst lösen wir Teil e) der Frage: Herr Meier hat eine Auswahl an fünf verschiedenen Farben und möchte verschiedene Pullover ohne wiederholende Farbkombinationen stricken. Für einen Pullover mit drei Farben gibt es \( _5C_3 \) Kombinationsmöglichkeiten, wobei \( _nC_r \) die Anzahl der Kombinationen von n Elementen zur Auswahl von r ohne Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge ist (d.h. die binomiale Koeffizientenformel). Die Formel für den binomischen Koeffizienten lautet: \[ _nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!} \] Wenn wir unsere Zahlen einsetzen, erhalten wir: \[ _5C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \] Herr Meier kann also 10 verschiedene Pullover stricken, ohne die Farben zu wiederholen. Nun, Teil f) der Frage: Familie Meier möchte ihren Garten mit Zäunen, Bäumen, Blumenkübeln und Blumensteinen gestalten. Im Baumarkt gibt es 3 verschiedene Zäune, 15 Bäume, 4 verschiedene Blumenkübel und 20 Blumensteine. Jedes Element wird separat ausgewählt, was bedeutet, dass die Anzahl der Gestaltungsmöglichkeiten das Produkt der einzelnen Auswahlmöglichkeiten ist: Anzahl der Möglichkeiten = Anzahl der Zäune * Anzahl der Bäume * Anzahl der Blumenkübel * Anzahl der Blumensteine Anzahl der Möglichkeiten = 3 * 15 * 4 * 20 Wenn wir das ausrechnen, erhalten wir: Anzahl der Möglichkeiten = 3600 Familie Meier hat also 3600 verschiedene Gestaltungsmöglichkeiten für ihren Garten.
Combinatorial Problems in Ordering Students
Die Aufgabe stellt mehrere kombinatorische Probleme dar, die sich auf eine Schulklasse mit 26 Schülern beziehen, die sich in einer Reihe aufstellen sollen. Hier sind die Lösungen für jede Teilaufgabe: a) Wie viele unterschiedliche Reihen sind möglich? Da es sich um 26 Schüler handelt und die Reihenfolge, in der sie stehen, von Bedeutung ist, handelt es sich hierbei um eine Permutation von 26 verschiedenen Elementen. Die Anzahl der möglichen unterschiedlichen Reihen ist daher 26!, was bedeutet, dass man 26 Fakultät berechnen muss, also das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis 26. b) Wie viele unterschiedliche Reihen sind möglich, wenn Schüler A unbedingt vorne stehen möchte und Schüler B unbedingt hinten stehen möchte? Hier sind zwei Positionen festgelegt: A an der ersten Position und B an der letzten Position. Damit verbleiben 24 Schüler, deren Anordnung variiert werden kann. Das entspricht einer Permutation von 24 verschiedenen Elementen. Die Anzahl der möglichen unterschiedlichen Reihen beträgt somit 24!. c) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn Schüler C und D unbedingt nebeneinander stehen möchten? Für dieses Szenario können wir C und D als eine Einheit betrachten, da sie nebeneinander stehen wollen. Das gibt uns 25 "Einheiten" (die 24 anderen Schüler plus die "Einheit" von C und D zusammen). Es gibt 25! Möglichkeiten, diese Einheiten anzuordnen. Zusätzlich können C und D intern auf 2! (2 mögliche Anordnungen) Weisen vertauscht werden. Das ergibt 25! * 2!. d) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn Schüler C und D sowie Schüler E und F unbedingt nebeneinander stehen möchten? Ähnlich wie bei Teil c) werden die Paare C und D sowie E und F jeweils als einzelne Einheiten behandelt. Das bedeutet, wir reduzieren die Anzahl der Einheiten auf 24 (22 anderen Schüler + 2 Paare). Es gibt also 24! Möglichkeiten, die Einheiten anzuordnen. Jedes Paar kann unter sich auf 2! Arten angeordnet werden, also insgesamt 2! * 2! für beide Paare. So ergibt sich die Gesamtanzahl der Möglichkeiten als 24! * 2! * 2!.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com