Example Question - counting possibilities
Here are examples of questions we've helped users solve.
Counting Possibilities for Three-Digit Numbers
Die Berechnung der Anzahl von Möglichkeiten für dreistellige Zahlen, die aus den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4 und 5 gebildet werden können, wobei keine Ziffer mehr als einmal vorkommt und die Zahlen von links nach rechts in aufsteigender Reihenfolge stehen, kann wie folgt gelöst werden: a. Für die erste Ziffer (hundertstellige Stelle) können wir jede der Ziffern 1, 2, 3, 4 und 5 wählen (die 0 ist nicht zulässig, da die Zahl nicht mit einer 0 anfangen kann). Das gibt 5 Möglichkeiten. Für die zweite Ziffer (zehnstelligen Stelle) können wir jede der verbliebenen Ziffern wählen, die größer als die erste Ziffer ist. Das bedeutet, dass wenn die erste Ziffer die 1 ist, die zweite Ziffer eine der Ziffern 2, 3, 4 oder 5 sein kann, was 4 Möglichkeiten ergibt. Falls die erste Ziffer die 2 ist, gibt es 3 Möglichkeiten für die zweite Ziffer (3, 4 oder 5), und so weiter. Für die dritte Ziffer (einerstellige Stelle) gibt es dann jeweils eine Ziffer weniger zur Auswahl als für die zweite Ziffer. Also haben wir, abhängig von der Wahl der ersten zwei Ziffern, 3, 2 oder 1 Möglichkeit(en). Wenn wir nun alle Möglichkeiten zusammenzählen, müssen wir über alle Kombinationen der ersten und zweiten Ziffer summieren. Die Anzahl an Möglichkeiten für die zweite und dritte Ziffer hängt von der ersten Ziffer ab: - Wählt man für die erste Ziffer eine 1, gibt es 4 Möglichkeiten für die zweite Ziffer und für jede dieser Möglichkeiten 3 Möglichkeiten für die dritte Ziffer. Also insgesamt 4 * 3 = 12 Möglichkeiten. - Wählt man für die erste Ziffer eine 2, gibt es 3 Möglichkeiten für die zweite Ziffer und für jede dieser Möglichkeiten 2 Möglichkeiten für die dritte Ziffer. Also insgesamt 3 * 2 = 6 Möglichkeiten. - Wählt man eine 3, gibt es 2 * 1 = 2 Möglichkeiten. - Wählt man eine 4, gibt es 1 * 1 = 1 Möglichkeit (da die einzige Möglichkeit für die zweite Ziffer die 5 ist, und keine dritte Ziffer möglich ist). Somit ergibt sich eine Gesamtzahl an Möglichkeiten von 12 + 6 + 2 + 1 = 21 Möglichkeiten. b. Alle möglichen Zahlen, die unter diesen Bedingungen erstellt werden können, sind: - Mit 1 beginnend: 123, 124, 125, 134, 135, 145. - Mit 2 beginnend: 234, 235, 245. - Mit 3 beginnend: 345. - Mit 4 beginnend: keine weiteren Zahlen möglich, da 5 die einzige verbleibende Ziffer ist und wir keine zweistelligen Zahlen zählen. Die Liste der möglichen Zahlen ist daher: 123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, 345.
Combinatorics Example: Counting Possibilities
In dieser Aufgabe geht es um Kombinatorik. Zuerst lösen wir Teil e) der Frage: Herr Meier hat eine Auswahl an fünf verschiedenen Farben und möchte verschiedene Pullover ohne wiederholende Farbkombinationen stricken. Für einen Pullover mit drei Farben gibt es \( _5C_3 \) Kombinationsmöglichkeiten, wobei \( _nC_r \) die Anzahl der Kombinationen von n Elementen zur Auswahl von r ohne Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge ist (d.h. die binomiale Koeffizientenformel). Die Formel für den binomischen Koeffizienten lautet: \[ _nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!} \] Wenn wir unsere Zahlen einsetzen, erhalten wir: \[ _5C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \] Herr Meier kann also 10 verschiedene Pullover stricken, ohne die Farben zu wiederholen. Nun, Teil f) der Frage: Familie Meier möchte ihren Garten mit Zäunen, Bäumen, Blumenkübeln und Blumensteinen gestalten. Im Baumarkt gibt es 3 verschiedene Zäune, 15 Bäume, 4 verschiedene Blumenkübel und 20 Blumensteine. Jedes Element wird separat ausgewählt, was bedeutet, dass die Anzahl der Gestaltungsmöglichkeiten das Produkt der einzelnen Auswahlmöglichkeiten ist: Anzahl der Möglichkeiten = Anzahl der Zäune * Anzahl der Bäume * Anzahl der Blumenkübel * Anzahl der Blumensteine Anzahl der Möglichkeiten = 3 * 15 * 4 * 20 Wenn wir das ausrechnen, erhalten wir: Anzahl der Möglichkeiten = 3600 Familie Meier hat also 3600 verschiedene Gestaltungsmöglichkeiten für ihren Garten.
Combinatorics in Mathematics: Counting Possibilities
Um die gestellten Fragen zu beantworten, können wir Kombinatorik verwenden, was ein Teilgebiet der Mathematik ist, das sich mit der Anzahl der Möglichkeiten beschäftigt, eine bestimmte Auswahl von Objekten zu ordnen oder auszuwählen. a. Ein Sportverein mit 35 Mitgliedern darf 6 Mitglieder auf einen Wettkampf schicken. Wie viele unterschiedliche Besetzungen der Wettkampfmannschaft sind möglich? Bei dieser Aufgabe handelt es sich um eine Kombination ohne Wiederholung. Wir wollen wissen, auf wie viele Arten wir 6 Mitglieder aus einer Gruppe von 35 auswählen können, ohne dass die Reihenfolge eine Rolle spielt. Die Formel für eine Kombination ohne Wiederholung lautet \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \), wobei \( n \) die Gesamtzahl der Objekte ist und \( k \) die Anzahl der ausgewählten Objekte. Setzen wir ein: \( \binom{35}{6} = \frac{35!}{6!(35-6)!} = \frac{35!}{6! \cdot 29!} \) Diese Berechnung vereinfacht sich, indem man die Fakultäten kürzt: \( \frac{35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \) \( = \frac{35}{1} \cdot \frac{34}{2} \cdot \frac{33}{3} \cdot \frac{32}{4} \cdot \frac{31}{5} \cdot \frac{30}{6} \) \( = 35 \cdot 17 \cdot 11 \cdot 8 \cdot 6.2 \cdot 5 \) Nun multiplizieren wir diese Zahlen: \( = 35 \cdot 17 \cdot 11 \cdot 8 \cdot 6.2 \cdot 5 \) \( = 595 \cdot 8 \cdot 6.2 \cdot 5 \) \( = 4760 \cdot 6.2 \cdot 5 \) \( = 29512 \cdot 5 \) \( = 147560 \) Es gibt also 147560 verschiedene Möglichkeiten, wie der Sportverein seine Mannschaft für den Wettkampf zusammenstellen könnte. b. An einem Gewinnspiel nehmen 4 Kandidaten teil, in einem Los-Topf befinden sich Lose für 12 unterschiedliche Gewinne. Wie viele unterschiedliche Spielausgänge sind möglich? In diesem Fall hat jeder Kandidat die Möglichkeit, einen von 12 Preisen zu gewinnen. Da es vier Kandidaten gibt und jeder einen anderen Preis bekommen kann, haben wir eine Permutation ohne Wiederholung. Für jeden Preis, den der erste Kandidat gewinnt, gibt es 11 verbleibende Preise für den zweiten Kandidaten, dann 10 für den dritten und schließlich 9 für den vierten. Die Anzahl der Spielausgänge ist das Produkt dieser Zahlen: \( 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 = 11880 \) Es gibt 11880 verschiedene Spielausgänge. c. In einer Klasse mit 25 Schülern werden 5 Schüler gewählt, die Klassendienste übernehmen. Wie viele Möglichkeiten gibt es die Klassendienste zu verteilen? Dies ist wieder eine Kombinationsaufgabe, da die Reihenfolge der gewählten Schüler keine Rolle spielt. Wir verwenden die gleiche Formel für Kombinationen ohne Wiederholung: \( \binom{25}{5} = \frac{25!}{5!(25-5)!} = \frac{25!}{5! \cdot 20!} \) Diese Berechnung vereinfacht sich: \( \frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \) \( = 25 \cdot 6 \cdot 23 \cdot 11 \cdot 21 \) \( = 150 \cdot 23 \cdot 11 \cdot 21 \) \( = 3450 \cdot 11 \cdot 21 \) \( = 37950 \cdot 21 \) \( = 796950 \) Es gibt also 796950 verschiedene Möglichkeiten, wie die Klassendienste unter den Schülern verteilt werden können.
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