Calculating Limit of a Trigonometric Expression
Para encontrar el límite de la expresión \(\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin^3 x}}{{x^2}}\), podemos utilizar la conocida regla del límite: \(\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin x}}{{x}} = 1\). Sin embargo, la expresión que tenemos es un poco diferente y tenemos que ajustarla para poder aplicar directamente esta regla.
Primero, podemos reescribir el seno al cubo como \((\sin x)^3\). Entonces, la expresión queda como \((\sin x)^3/x^2\), lo cual puede ser escrita como \((\sin x/x)^2 \cdot \sin x\).
Ahora aplicamos la regla mencionada:
\[\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin x}}{{x}} = 1\]
Utilizamos esto para calcular el valor del límite:
\[\lim_{{x \to 0}} (\frac{{\sin x}}{{x}})^2 \cdot \sin x = (\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin x}}{{x}})^2 \cdot (\lim_{{x \to 0}} \sin x)\]
Sustituimos los límites conocidos:
\[= 1^2 \cdot 0\]
Así que el resultado del límite es:
\[= 0\]
Por lo tanto, el valor del límite es 0.
