Question - Calculating Geometric Properties of a Regular Hexagonal Prism
Solution:
El problema muestra un prisma hexagonal regular, y se pide calcular el volumen, el área total y el área lateral del mismo. La altura del prisma es de 11 cm y la arista de la base mide 3 cm.
Para calcular el volumen \(V\) de un prisma hexagonal regular, necesitamos el área de la base \(A_b\) y la altura \(h\). La base es un hexágono regular, con seis triángulos equiláteros. El área de un triángulo equilátero con lado \(l\) es \(\frac{\sqrt{3}}{4}l^2\). Entonces, para el hexágono, la fórmula es \(A_b = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4}l^2\).
\(A_b = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4}(3cm)^2\)
\(A_b = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 9cm^2\)
\(A_b = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 9cm^2\)
\(A_b = \frac{54\sqrt{3}}{4}cm^2\)
\(A_b = 13.5\sqrt{3}cm^2\)
Para obtener el volumen, multiplicamos el área de la base por la altura \(h\):\(V = A_b \times h\)
\(V = 13.5\sqrt{3}cm^2 \times 11cm\)
\(V = 148.5\sqrt{3}cm^3\)
Ahora, para el área lateral \(A_L\), se considera el perímetro de la base \(P_b\) multiplicado por la altura \(h\):\(P_b = 6l\)
\(P_b = 6 \times 3cm\)
\(P_b = 18cm\)
Luego:\(A_L = P_b \times h\)
\(A_L = 18cm \times 11cm\)
\(A_L = 198cm^2\)
Y para el área total \(A_T\), sumamos el área lateral más dos veces el área de la base (ya que hay dos bases):\(A_T = A_L + 2A_b\)
\(A_T = 198cm^2 + 2 \times 13.5\sqrt{3}cm^2\)
\(A_T = 198cm^2 + 27\sqrt{3}cm^2\)
Recordando que: \( \sqrt{3} \approx 1.732 \),\(A_T = 198cm^2 + 27 \times 1.732cm^2\)
\(A_T = 198cm^2 + 46.764cm^2\)
\(A_T = 244.764cm^2\)
Entonces, las respuestas son: - Volumen: \(148.5\sqrt{3}cm^3\) o aproximadamente \(257.523cm^3\) - Área lateral: \(198cm^2\) - Área total: \(244.764cm^2\) aproximadamente.CamTutor
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