Example Question - surface area
Here are examples of questions we've helped users solve.
Volume and Surface Area of a Box
<p>Để tính diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật, ta sử dụng công thức:</p> <p>S = 2(lw + lh + wh)</p> <p>Trong đó:</p> <p>l = chiều dài = 65 cm</p> <p>w = chiều rộng = 40 cm</p> <p>h = chiều cao = 55 cm</p> <p>Thay vào công thức:</p> <p>S = 2(65 \cdot 40 + 65 \cdot 55 + 40 \cdot 55)</p> <p>S = 2(2600 + 3575 + 2200)</p> <p>S = 2(8375)</p> <p>S = 16750 cm²</p> <p>Vậy diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là 16750 cm².</p>
Calculating Surface Area and Volume
<p>To find the surface area (SA) of a rectangular prism:</p> <p>SA = 2(lw + lh + wh)</p> <p>Where l = 80 cm, w = 40 cm, h = 55 cm:</p> <p>SA = 2(80 \times 40 + 80 \times 55 + 40 \times 55)</p> <p>SA = 2(3200 + 4400 + 2200) = 2(9800) = 19600 \, \text{cm}^2</p> <p>For the volume (V):</p> <p>V = l \times w \times h</p> <p>V = 80 \times 40 \times 55</p> <p>V = 176000 \, \text{cm}^3</p>
Room Painting Area Calculation
<p> Đầu tiên, tính diện tích bốn bức tường xung quanh phòng. Diện tích mỗi bức tường có thể tính theo công thức: </p> <p> Diện tích tường = Chiều cao × Chiều dài hoặc Chiều rộng. </p> <p> Có 2 bức tường chiều dài và 2 bức tường chiều rộng. </p> <p> Tính diện tích tường chiều dài: </p> <p> 2 × (4.5 \text{ m} × 4 \text{ m}) = 36 \text{ m}^2. </p> <p> Tính diện tích tường chiều rộng: </p> <p> 2 × (3.5 \text{ m} × 4 \text{ m}) = 28 \text{ m}^2. </p> <p> Tổng diện tích tường: </p> <p> 36 \text{ m}^2 + 28 \text{ m}^2 = 64 \text{ m}^2. </p> <p> Diện tích cần quét với tổng diện tích là 64 m² trừ đi diện tích cửa sổ (1.78 m²). </p> <p> 64 \text{ m}^2 - 1.78 \text{ m}^2 = 62.22 \text{ m}^2. </p> <p> Vậy diện tích cần quét là 62.22 m². </p>
Calculating Surface Area of a Room
<p>Chiều dài phòng: 4.5 m</p> <p>Chiều rộng phòng: 3.5 m</p> <p>Chiều cao phòng: 4 m</p> <p>Diện tích tường là:</p> <p>2 \times (chiều dài + chiều rộng) \times chiều cao = 2 \times (4.5 + 3.5) \times 4 = 2 \times 8 \times 4 = 64 m^2</p> <p>Diện tích trần nhà là:</p> <p>chiều dài \times chiều rộng = 4.5 \times 3.5 = 15.75 m^2</p> <p>Tổng diện tích cần quét là:</p> <p>Diện tích tường + Diện tích trần = 64 + 15.75 = 79.75 m^2</p>
Calculating Geometric Properties of a Regular Hexagonal Prism
El problema muestra un prisma hexagonal regular, y se pide calcular el volumen, el área total y el área lateral del mismo. La altura del prisma es de 11 cm y la arista de la base mide 3 cm. Para calcular el volumen \(V\) de un prisma hexagonal regular, necesitamos el área de la base \(A_b\) y la altura \(h\). La base es un hexágono regular, con seis triángulos equiláteros. El área de un triángulo equilátero con lado \(l\) es \(\frac{\sqrt{3}}{4}l^2\). Entonces, para el hexágono, la fórmula es \(A_b = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4}l^2\). <p>\(A_b = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4}(3cm)^2\)</p> <p>\(A_b = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 9cm^2\)</p> <p>\(A_b = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 9cm^2\)</p> <p>\(A_b = \frac{54\sqrt{3}}{4}cm^2\)</p> <p>\(A_b = 13.5\sqrt{3}cm^2\)</p> Para obtener el volumen, multiplicamos el área de la base por la altura \(h\): <p>\(V = A_b \times h\)</p> <p>\(V = 13.5\sqrt{3}cm^2 \times 11cm\)</p> <p>\(V = 148.5\sqrt{3}cm^3\)</p> Ahora, para el área lateral \(A_L\), se considera el perímetro de la base \(P_b\) multiplicado por la altura \(h\): <p>\(P_b = 6l\)</p> <p>\(P_b = 6 \times 3cm\)</p> <p>\(P_b = 18cm\)</p> Luego: <p>\(A_L = P_b \times h\)</p> <p>\(A_L = 18cm \times 11cm\)</p> <p>\(A_L = 198cm^2\)</p> Y para el área total \(A_T\), sumamos el área lateral más dos veces el área de la base (ya que hay dos bases): <p>\(A_T = A_L + 2A_b\)</p> <p>\(A_T = 198cm^2 + 2 \times 13.5\sqrt{3}cm^2\)</p> <p>\(A_T = 198cm^2 + 27\sqrt{3}cm^2\)</p> Recordando que: \( \sqrt{3} \approx 1.732 \), <p>\(A_T = 198cm^2 + 27 \times 1.732cm^2\)</p> <p>\(A_T = 198cm^2 + 46.764cm^2\)</p> <p>\(A_T = 244.764cm^2\)</p> Entonces, las respuestas son: - Volumen: \(148.5\sqrt{3}cm^3\) o aproximadamente \(257.523cm^3\) - Área lateral: \(198cm^2\) - Área total: \(244.764cm^2\) aproximadamente.
Calculating the Surface Area of a Combined Solid
<p>Let us denote the following:</p> <p>\( A_p \) = The area of the pyramid base</p> <p>\( A_c \) = The area of the cube</p> <p>\( A_{t} \) = The area of one triangle on the pyramid</p> <p>\( A_{\text{total}} \) = The total surface area</p> <p>First, we calculate the base area of the pyramid (square):</p> <p>\[ A_p = 5 \times 5 = 25 \ \text{cm}^2 \]</p> <p>Then, the area of one of the four identical triangles of the pyramid:</p> <p>\[ A_{t} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height} = \frac{1}{2} \times 5 \times 6 = 15 \ \text{cm}^2 \]</p> <p>Now, the surface area of the cube minus the area where the pyramid is attached:</p> <p>\[ A_c = 6 \times \text{face area} - A_p = 6 \times (5 \times 5) - 25 = 150 \ \text{cm}^2 \]</p> <p>Adding the four triangles' area:</p> <p>\[ A_c = A_c + 4 \times A_{t} = 150 + 4 \times 15 = 210 \ \text{cm}^2 \]</p> <p>The combined surface area:</p> <p>\[ A_{\text{total}} = A_c + A_p = 210 + 25 = 235 \ \text{cm}^2 \]</p>
Calculation of Total Surface Area for Composed Shapes
<p>First, identify the shapes involved: a cube and a pyramid.</p> <p>The surface area of the cube (without the base that connects to the pyramid): Surface area of 3 faces of 5x5 cm: $3 \times (5 \times 5) = 3 \times 25 = 75 \text{ cm}^2$</p> <p>The surface area of the pyramid (without the base): Area of 4 triangular faces.</p> <p>Area of one triangle: $\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height} = \frac{1}{2} \times 5 \times 6 = 15 \text{ cm}^2$</p> <p>Surface area of the pyramid: $4 \times 15 = 60 \text{ cm}^2$</p> <p>Total surface area of the combined shape: Surface area of cube + Surface area of pyramid: $75 + 60 = 135 \text{ cm}^2$</p>
Calculation of Surface Area and Volume of Cylinder
Para resolver este problema, necesitamos calcular primero el área de la superficie total (At) y luego el volumen (V) del cilindro. Primero, calculamos el área de la base del cilindro. La fórmula para el área de un círculo es \( A = \pi r^2 \), donde \( r \) es el radio del círculo. Dado que el diámetro del cilindro es de 15 cm, el radio será la mitad de eso, es decir, \( r = \frac{15}{2} = 7.5 \) cm. Entonces, el área de una de las bases circulares es: \( A_{base} = \pi (7.5)^2 = 56.25\pi \) Como hay dos bases en un cilindro, el área total de las dos bases será: \( A_{bases\_total} = 2 \times 56.25\pi = 112.5\pi \) Ahora, calculamos el área lateral del cilindro. La fórmula para el área lateral de un cilindro es \( A_{lateral} = 2\pi rh \), donde \( h \) es la altura del cilindro. La altura dada es de 30 cm, por lo que: \( A_{lateral} = 2\pi(7.5)(30) = 450\pi \) Sumando el área de las bases y el área lateral, obtenemos el área de la superficie total: \( At = A_{bases\_total} + A_{lateral} = 112.5\pi + 450\pi = 562.5\pi \) Para calcular el volumen de un cilindro usamos la fórmula \( V = \pi r^2h \). Reemplazamos \( r \) y \( h \) con los valores dados: \( V = \pi (7.5)^2(30) = 1687.5\pi \) Ahora, utilizamos una aproximación de \( \pi \) como 3.1416 para hallar los valores numéricos: \( At = 562.5\pi \approx 562.5 \times 3.1416 \) \( At \approx 1767.25 \) cm² \( V = 1687.5\pi \approx 1687.5 \times 3.1416 \) \( V \approx 5303.54 \) cm³ Notemos que en la imagen, las opciones son aproximaciones, y la aproximación para el área de la superficie total y el volumen difiere ligeramente de nuestros cálculos. Dicho esto, basados en nuestras cifras y las opciones proporcionadas, la opción más cercana a nuestros cálculos es la: D. \( At = 800 \) cm² y \( V = 3000 \) cm³ Sin embargo, este no es el resultado correcto según nuestros cálculos, parece haber un error, ya sea en las opciones proporcionadas o en la interpretación del volumen y el área de la superficie dado el valor de \( \pi \) que se utilice. Normalmente se usaría 3.1416 para \( \pi \), pero si se usa 3.14, incluso las aproximaciones podrían variar. Es importante comprobar estas aproximaciones con la precisión adecuada o proporcionar el resultado exacto en términos de \( \pi \).
Calculations for Cylinder: Surface Area and Volume
Primero, necesitamos recordar las fórmulas para calcular el área de la superficie total y el volumen de un cilindro: El área de la superficie total (At) de un cilindro es calculada por la suma del área de las dos bases (que son círculos) más el área de la pared lateral (que es un rectángulo si se despliega). La fórmula del círculo es \( A = \pi r^2 \), donde \( r \) es el radio del círculo. La fórmula del área lateral de un cilindro es \( Al = 2 \pi r h \), donde \( h \) es la altura del cilindro. Entonces, el área total es la suma de las áreas de las bases y la pared lateral: \[ At = 2 (\pi r^2) + (2 \pi r h) \] El volumen (V) de un cilindro es calculado por: \[ V = \pi r^2 h \] Dado que tenemos un diámetro de 15 cm, el radio \( r \) es la mitad de esto, así que \( r = 7.5 \) cm. La altura \( h \) es de 30 cm. Ahora, calculamos la superficie total: \[ At = 2 (\pi (7.5)^2) + (2 \pi (7.5) (30)) \] \[ At ≈ 2 (3.1416 \times 56.25) + (2 \times 3.1416 \times 7.5 \times 30) \] \[ At ≈ 2 (177.15) + (471.24) \] \[ At ≈ 354.3 + 471.24 \] \[ At ≈ 825.54 \text{ cm}^2 \] Y para el volumen: \[ V = \pi (7.5)^2 (30) \] \[ V ≈ 3.1416 \times 56.25 \times 30 \] \[ V ≈ 3.1416 \times 1687.5 \] \[ V ≈ 5298.75 \text{ cm}^3 \] Parece que hay un error en los cálculos porque las cifras no coinciden con las opciones dadas en la imagen. Revisemos los cálculos: El área de las dos bases (círculos) sería: \[ Ab = 2 \cdot \pi \cdot r^2 = 2 \cdot \pi \cdot (7.5)^2 = 2 \cdot 3.1416 \cdot 56.25 \] \[ Ab = 2 \cdot 176.71 = 353.42 \text{ cm}^2 \] (aproximadamente) Ahora, el área lateral (rectángulo) sería la circunferencia de una base por la altura: \[ Al = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h = 2 \cdot 3.1416 \cdot 7.5 \cdot 30 \] \[ Al = 471.24 \cdot 30 = 1413.72 \text{ cm}^2 \] (aproximadamente) Juntando ambas áreas obtenemos el área total del cilindro: \[ At = Ab + Al = 353.42 \text{ cm}^2 + 1413.72 \text{ cm}^2 \] \[ At = 1767.14 \text{ cm}^2 \] (aproximadamente) Ahora calcularemos el volumen nuevamente: \[ V = \pi \cdot r^2 \cdot h = 3.1416 \cdot (7.5)^2 \cdot 30 \] \[ V = 3.1416 \cdot 56.25 \cdot 30 \] \[ V = 3.1416 \cdot 1687.5 \] \[ V = 5303.05 \text{ cm}^3 \] (aproximadamente) Aparentemente, los resultados no corresponden a ninguna de las opciones presentadas en la imagen. Puede haber un error en la imagen o en los valores proporcionados. Revisa los valores de entrada o la formulación de las opciones propuestas. En cualquier caso, quizás debas comunicarte con el instructor o la fuente del problema para clarificar la discrepancia.
Calculating Surface Area of a Triangular Prism
To find the surface area of the triangular prism shown in the image, we can sum the areas of all the individual faces of the prism. The prism has two triangular faces and three rectangular faces. We'll calculate each of these separately and then add them together: 1. The area of one triangular face: Since both triangular faces are identical, we only need to calculate the area for one and then double it. The formula for the area of a triangle is \( \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height} \). Here, the base is 5 cm and the height is 12 cm. Area of one triangle = \( \frac{1}{2} \times 5 \, \text{cm} \times 12 \, \text{cm} = 30 \, \text{cm}^2 \) Since there are two triangles, the total area for the triangular faces: 2 × 30 cm² = 60 cm² 2. The area of the three rectangular faces: We need to consider all three rectangles: the bottom, the side that is parallel to the triangular base, and the back rectangle. - The bottom rectangle has dimensions of 6 cm (length) and 5 cm (width). Area of the bottom rectangle = length × width = 6 cm × 5 cm = 30 cm² - The side rectangle (parallelogram face) has dimensions of 6 cm (base) and 12 cm (slant height). Area of the side rectangle = base × height = 6 cm × 12 cm = 72 cm² - The back rectangle has dimensions of 12 cm (length) and 5 cm (width). Area of the back rectangle = length × width = 12 cm × 5 cm = 60 cm² Adding the area of all three rectangles: 30 cm² + 72 cm² + 60 cm² = 162 cm² Finally, add the areas of the triangles and rectangles together to get the total surface area: Total surface area = area of triangles + area of rectangles Total surface area = 60 cm² (triangles) + 162 cm² (rectangles) Total surface area = 222 cm² So, the surface area of the triangular prism is 222 cm².
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