Calculating Geometric Properties of a Regular Hexagonal Prism
El problema muestra un prisma hexagonal regular, y se pide calcular el volumen, el área total y el área lateral del mismo. La altura del prisma es de 11 cm y la arista de la base mide 3 cm.
Para calcular el volumen \(V\) de un prisma hexagonal regular, necesitamos el área de la base \(A_b\) y la altura \(h\). La base es un hexágono regular, con seis triángulos equiláteros. El área de un triángulo equilátero con lado \(l\) es \(\frac{\sqrt{3}}{4}l^2\). Entonces, para el hexágono, la fórmula es \(A_b = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4}l^2\).
<p>\(A_b = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4}(3cm)^2\)</p>
<p>\(A_b = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 9cm^2\)</p>
<p>\(A_b = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 9cm^2\)</p>
<p>\(A_b = \frac{54\sqrt{3}}{4}cm^2\)</p>
<p>\(A_b = 13.5\sqrt{3}cm^2\)</p>
Para obtener el volumen, multiplicamos el área de la base por la altura \(h\):
<p>\(V = A_b \times h\)</p>
<p>\(V = 13.5\sqrt{3}cm^2 \times 11cm\)</p>
<p>\(V = 148.5\sqrt{3}cm^3\)</p>
Ahora, para el área lateral \(A_L\), se considera el perímetro de la base \(P_b\) multiplicado por la altura \(h\):
<p>\(P_b = 6l\)</p>
<p>\(P_b = 6 \times 3cm\)</p>
<p>\(P_b = 18cm\)</p>
Luego:
<p>\(A_L = P_b \times h\)</p>
<p>\(A_L = 18cm \times 11cm\)</p>
<p>\(A_L = 198cm^2\)</p>
Y para el área total \(A_T\), sumamos el área lateral más dos veces el área de la base (ya que hay dos bases):
<p>\(A_T = A_L + 2A_b\)</p>
<p>\(A_T = 198cm^2 + 2 \times 13.5\sqrt{3}cm^2\)</p>
<p>\(A_T = 198cm^2 + 27\sqrt{3}cm^2\)</p>
Recordando que: \( \sqrt{3} \approx 1.732 \),
<p>\(A_T = 198cm^2 + 27 \times 1.732cm^2\)</p>
<p>\(A_T = 198cm^2 + 46.764cm^2\)</p>
<p>\(A_T = 244.764cm^2\)</p>
Entonces, las respuestas son:
- Volumen: \(148.5\sqrt{3}cm^3\) o aproximadamente \(257.523cm^3\)
- Área lateral: \(198cm^2\)
- Área total: \(244.764cm^2\) aproximadamente.
