Question - Approximating Solution of ODE using Euler Method
Solution:
首先，我们需要了解Euler方法是一种数值解法，用于近似求解常微分方程的解。在这个问题中，我们有一个初值问题：\[\frac{dy}{dx} = 2x(y - x)\]对于初值$$y(1) = 0$$。由于我们需要用两个等步长的步骤从$$x = 1$$ 开始来近似求解$$y(0)$$，我们可以让步长$$h$$为-0.5（因为我们需要回退到$$x = 0$$）。这样，我们将有$$x_0 = 1$$ 和 $$y_0 = 0$$，接着 $$x_1 = 0.5$$ 和 $$x_2 = 0$$。用Euler方法，下一步$$y$$的值通过当前步的$$y$$值加上步长乘以该点的斜率给出。斜率由微分方程给出：\[y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n)\]我们现在使用这种方法来近似$$y_1$$和$$y_2$$。第一步：\[y_1 = y_0 + h \cdot f(x_0, y_0)\]\[y_1 = 0 + (-0.5) \cdot f(1, 0)\]\[f(1, 0) = 2 \cdot 1(0 - 1) = -2\]\[y_1 = 0 + (-0.5)(-2) = 1\]第二步：\[y_2 = y_1 + h \cdot f(x_1, y_1)\]\[y_2 = 1 + (-0.5) \cdot f(0.5, 1)\]\[f(0.5, 1) = 2 \cdot 0.5(1 - 0.5) = 1 \cdot 0.5 = 0.5\]\[y_2 = 1 + (-0.5)(0.5) = 1 - 0.25 = 0.75\]所以，使用Euler方法近似得到$$y(0) = y_2 = 0.75$$。看选择题的选项，答案是(C) $$\frac{3}{4}$$。
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