Approximating Solution of ODE using Euler Method
首先，我们需要了解Euler方法是一种数值解法，用于近似求解常微分方程的解。在这个问题中，我们有一个初值问题：
\[\frac{dy}{dx} = 2x(y - x)\]
对于初值\(y(1) = 0\)。
由于我们需要用两个等步长的步骤从\(x = 1\) 开始来近似求解\(y(0)\)，我们可以让步长\(h\)为-0.5（因为我们需要回退到\(x = 0\)）。这样，我们将有\(x_0 = 1\) 和 \(y_0 = 0\)，接着 \(x_1 = 0.5\) 和 \(x_2 = 0\)。
用Euler方法，下一步\(y\)的值通过当前步的\(y\)值加上步长乘以该点的斜率给出。斜率由微分方程给出：
\[y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n)\]
我们现在使用这种方法来近似\(y_1\)和\(y_2\)。
第一步：
\[y_1 = y_0 + h \cdot f(x_0, y_0)\]
\[y_1 = 0 + (-0.5) \cdot f(1, 0)\]
\[f(1, 0) = 2 \cdot 1(0 - 1) = -2\]
\[y_1 = 0 + (-0.5)(-2) = 1\]
第二步：
\[y_2 = y_1 + h \cdot f(x_1, y_1)\]
\[y_2 = 1 + (-0.5) \cdot f(0.5, 1)\]
\[f(0.5, 1) = 2 \cdot 0.5(1 - 0.5) = 1 \cdot 0.5 = 0.5\]
\[y_2 = 1 + (-0.5)(0.5) = 1 - 0.25 = 0.75\]
所以，使用Euler方法近似得到\(y(0) = y_2 = 0.75\)。
看选择题的选项，答案是(C) \(\frac{3}{4}\)。
