Question - Analyzing Growth Patterns of Wall Sections
Solution:
Um die Frage aus dem Bild zu beantworten, analysieren wir zunächst die Muster der Mauern und die von Milena und Kevin vorgeschlagenen Terme.Muster A wächst um 2 Würfel, jedes Mal wenn es um eine Stufe erweitert wird. Der erste Abschnitt hat 2 Würfel, der zweite hat 4 Würfel, und so weiter. Milenas Beschreibung für die Anzahl der Würfel für das Muster A lautet $$2n + \text{2}\text{(1)}$$, wobei $$n$$ die Anzahl der Abschnitte ist. Muster B wächst jedoch anders. Es fängt mit 3 Würfeln an, und jedes Mal, wenn es um eine Stufe erweitert wird, wächst es um 3 weitere Würfel. Der zweite Abschnitt wäre also 3 + 3, der dritte Abschnitt 3 + 3 + 3, und so weiter. Kevins Beschreibung für die Anzahl der Würfel für das Muster B lautet $$3n + \text{1}\text{(1)}$$.Um Frage A zu beantworten: Wer hat wie überlegt?Milena hat einen Term aufgestellt, bei dem sie annimmt, dass jede weitere Stufe der Mauer 2 weitere Würfel hinzufügt und sie einen Startwert von 2 hat.Kevin hat einen Term aufgestellt, bei dem er annimmt, dass jede weitere Stufe der Mauer 3 weitere Würfel hinzufügt und er einen Startwert von 1 annimmt.Für Frage B: Liefern beide Terme für beliebig lange Mauern die richtige Anzahl Würfel? Nein, nur Kevins Term $$3n + 1$$ gibt die richtige Anzahl Würfel für Muster B wieder, da jede Erweiterung der Mauer um eine Stufe tatsächlich um 3 Würfel zunimmt und mit 1 Würfel beginnt.Milenas Term würde hingegen nicht funktionieren, da der Startwert und die zunehmende Anzahl der Würfel pro Stufe nicht übereinstimmen. Ihr Term würde die richtige Anzahl der Würfel für Muster A liefern, wenn es tatsächlich mit 2 Würfeln beginnen würde und jede zusätzliche Stufe 2 weitere Würfel hinzufügen würde. Da das aber nicht der Fall ist – Muster A beginnt mit einem Würfel und wächst mit jedem Schritt um 2 –, stimmt ihr Term nicht mit Muster A überein.Um zu begründen, warum Kevin richtig liegt, können wir überprüfen, indem wir seine Formel für mehrere Abschnitte berechnen und sehen, ob das Ergebnis mit der Anzahl der Würfel in den Abschnitten des Musters B übereinstimmt. Wir können sehen, dass dies der Fall ist: 3 Würfel für den ersten Abschnitt (n=1), 6 Würfel für den zweiten (n=2), 9 Würfel für den dritten (n=3), und so weiter, addiert um jeweils 3 jedes Mal.
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