Analyzing Growth Patterns of Wall Sections
Um die Frage aus dem Bild zu beantworten, analysieren wir zunächst die Muster der Mauern und die von Milena und Kevin vorgeschlagenen Terme.
Muster A wächst um 2 Würfel, jedes Mal wenn es um eine Stufe erweitert wird. Der erste Abschnitt hat 2 Würfel, der zweite hat 4 Würfel, und so weiter. Milenas Beschreibung für die Anzahl der Würfel für das Muster A lautet \(2n + \text{2}\text{(1)}\), wobei \(n\) die Anzahl der Abschnitte ist.
Muster B wächst jedoch anders. Es fängt mit 3 Würfeln an, und jedes Mal, wenn es um eine Stufe erweitert wird, wächst es um 3 weitere Würfel. Der zweite Abschnitt wäre also 3 + 3, der dritte Abschnitt 3 + 3 + 3, und so weiter. Kevins Beschreibung für die Anzahl der Würfel für das Muster B lautet \(3n + \text{1}\text{(1)}\).
Um Frage A zu beantworten: Wer hat wie überlegt?
Milena hat einen Term aufgestellt, bei dem sie annimmt, dass jede weitere Stufe der Mauer 2 weitere Würfel hinzufügt und sie einen Startwert von 2 hat.
Kevin hat einen Term aufgestellt, bei dem er annimmt, dass jede weitere Stufe der Mauer 3 weitere Würfel hinzufügt und er einen Startwert von 1 annimmt.
Für Frage B: Liefern beide Terme für beliebig lange Mauern die richtige Anzahl Würfel?
Nein, nur Kevins Term \(3n + 1\) gibt die richtige Anzahl Würfel für Muster B wieder, da jede Erweiterung der Mauer um eine Stufe tatsächlich um 3 Würfel zunimmt und mit 1 Würfel beginnt.
Milenas Term würde hingegen nicht funktionieren, da der Startwert und die zunehmende Anzahl der Würfel pro Stufe nicht übereinstimmen. Ihr Term würde die richtige Anzahl der Würfel für Muster A liefern, wenn es tatsächlich mit 2 Würfeln beginnen würde und jede zusätzliche Stufe 2 weitere Würfel hinzufügen würde. Da das aber nicht der Fall ist – Muster A beginnt mit einem Würfel und wächst mit jedem Schritt um 2 –, stimmt ihr Term nicht mit Muster A überein.
Um zu begründen, warum Kevin richtig liegt, können wir überprüfen, indem wir seine Formel für mehrere Abschnitte berechnen und sehen, ob das Ergebnis mit der Anzahl der Würfel in den Abschnitten des Musters B übereinstimmt. Wir können sehen, dass dies der Fall ist: 3 Würfel für den ersten Abschnitt (n=1), 6 Würfel für den zweiten (n=2), 9 Würfel für den dritten (n=3), und so weiter, addiert um jeweils 3 jedes Mal.
