Example Question - pattern expansion
Here are examples of questions we've helped users solve.
Analyzing Growth Patterns of Wall Sections
Um die Frage aus dem Bild zu beantworten, analysieren wir zunächst die Muster der Mauern und die von Milena und Kevin vorgeschlagenen Terme. Muster A wächst um 2 Würfel, jedes Mal wenn es um eine Stufe erweitert wird. Der erste Abschnitt hat 2 Würfel, der zweite hat 4 Würfel, und so weiter. Milenas Beschreibung für die Anzahl der Würfel für das Muster A lautet \(2n + \text{2}\text{(1)}\), wobei \(n\) die Anzahl der Abschnitte ist. Muster B wächst jedoch anders. Es fängt mit 3 Würfeln an, und jedes Mal, wenn es um eine Stufe erweitert wird, wächst es um 3 weitere Würfel. Der zweite Abschnitt wäre also 3 + 3, der dritte Abschnitt 3 + 3 + 3, und so weiter. Kevins Beschreibung für die Anzahl der Würfel für das Muster B lautet \(3n + \text{1}\text{(1)}\). Um Frage A zu beantworten: Wer hat wie überlegt? Milena hat einen Term aufgestellt, bei dem sie annimmt, dass jede weitere Stufe der Mauer 2 weitere Würfel hinzufügt und sie einen Startwert von 2 hat. Kevin hat einen Term aufgestellt, bei dem er annimmt, dass jede weitere Stufe der Mauer 3 weitere Würfel hinzufügt und er einen Startwert von 1 annimmt. Für Frage B: Liefern beide Terme für beliebig lange Mauern die richtige Anzahl Würfel? Nein, nur Kevins Term \(3n + 1\) gibt die richtige Anzahl Würfel für Muster B wieder, da jede Erweiterung der Mauer um eine Stufe tatsächlich um 3 Würfel zunimmt und mit 1 Würfel beginnt. Milenas Term würde hingegen nicht funktionieren, da der Startwert und die zunehmende Anzahl der Würfel pro Stufe nicht übereinstimmen. Ihr Term würde die richtige Anzahl der Würfel für Muster A liefern, wenn es tatsächlich mit 2 Würfeln beginnen würde und jede zusätzliche Stufe 2 weitere Würfel hinzufügen würde. Da das aber nicht der Fall ist – Muster A beginnt mit einem Würfel und wächst mit jedem Schritt um 2 –, stimmt ihr Term nicht mit Muster A überein. Um zu begründen, warum Kevin richtig liegt, können wir überprüfen, indem wir seine Formel für mehrere Abschnitte berechnen und sehen, ob das Ergebnis mit der Anzahl der Würfel in den Abschnitten des Musters B übereinstimmt. Wir können sehen, dass dies der Fall ist: 3 Würfel für den ersten Abschnitt (n=1), 6 Würfel für den zweiten (n=2), 9 Würfel für den dritten (n=3), und so weiter, addiert um jeweils 3 jedes Mal.
Pattern Expansion and Perimeter Calculation
This question involves determining the perimeter of a pattern that is expanding according to a rule. Each new figure in the sequence is formed by adding rectangles to the previous figure, and these additions are highlighted in red in the image. We're given that the perimeters of the first four figures in the sequence are 4 cm, 8 cm, 20 cm, and 56 cm respectively. To find the perimeter of the "Figure 6", we need to identify the pattern by which the perimeters are increasing from one figure to the next: - From Figure 1 to Figure 2, the perimeter increases by 4 cm. - From Figure 2 to Figure 3, the perimeter increases by 12 cm (8 cm + 4 = 12 cm; 8 + 12 = 20). - From Figure 3 to Figure 4, the perimeter increases by 36 cm (20 cm + 3*12 = 56 cm). We can observe that the increment itself is multiplied by 3 each time: - Increment from Figure 1 to 2 is 4 cm. - Increment from Figure 2 to 3 is 12 cm (3 times the previous increment of 4 cm). - Increment from Figure 3 to 4 is 36 cm (3 times the previous increment of 12 cm). Using this pattern, we can calculate the increment from Figure 4 to Figure 5: - Increment from Figure 4 to 5 is 108 cm (3 times the previous increment of 36 cm). Now, let's add this increment to the perimeter of Figure 4: - Perimeter of Figure 5 = 56 cm + 108 cm = 164 cm. Now, we need to calculate the increment for the next figure, which will be 3 times 108 cm: - Increment from Figure 5 to 6 is 324 cm (3 times the previous increment of 108 cm). Finally, let's add this increment to the perimeter of Figure 5 to get the perimeter of Figure 6: - Perimeter of Figure 6 = 164 cm + 324 cm = 488 cm. Therefore, the perimeter of Figure 6 is 488 cm.
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