Example Question - uniqueness
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Differential Equation Existence and Uniqueness Theorem
La ecuación diferencial dada es <p>\[\frac{dP}{dt} = P(1 - P)\]</p> Para resolverla, utilizaremos la separación de variables. <p>\[\frac{dP}{P(1 - P)} = dt\]</p> Para resolver el lado izquierdo de la ecuación, realizamos descomposición en fracciones parciales. <p>\[\frac{1}{P(1 - P)} = \frac{A}{P} + \frac{B}{1 - P}\]</p> <p>\[1 = A(1 - P) + BP\]</p> <p>\[1 = A + P(B - A)\]</p> Podemos equiparar coeficientes para encontrar que \(A = 1\) y \(B - A = 0\), de donde \(B = 1\). <p>\[\frac{dP}{P(1 - P)} = \frac{dP}{P} + \frac{dP}{1 - P}\]</p> Integramos ambos lados de la ecuación. <p>\[\int \frac{dP}{P} + \int \frac{dP}{1 - P} = \int dt\]</p> <p>\[\ln|P| - \ln|1 - P| = t + C\]</p> <p>\[\ln|\frac{P}{1 - P}| = t + C\]</p> Resolviendo para \(P\), tenemos <p>\[\frac{P}{1 - P} = e^{t+C}\]</p> <p>\[P = (1 - P)e^{t+C}\]</p> <p>\[P(1 + e^{t+C}) = e^{t+C}\]</p> <p>\[P = \frac{e^{t+C}}{1 + e^{t+C}}\]</p> Donde \(\frac{e^{t+C}}{1 + e^{t+C}}\) es la solución general de la ecuación diferencial. En cuanto al teorema de existencia y unicidad, este puede aplicarse cuando las funciones \(f(t, y)\) y \(\frac{\partial f}{\partial y}\) son continuas en algún rectángulo que contiene el punto \((t_0, y_0)\). En este caso, \(f(t, P) = P(1 - P)\), y su derivada parcial respecto de \(P\) es \(\frac{\partial f}{\partial P} = 1 - 2P\), las cuales son continuas para todo \(P\) en \(\mathbb{R}\). Por lo tanto, no existe un punto \((t, P)\) donde no se pueda garantizar el teorema de existencia y unicidad.
Differential Equation and Existence Theorem Challenge
<p>La ecuación diferencial proporcionada es de la forma \(\frac{dP}{dt} = P(t) - P^2(t)\). Esta es una ecuación diferencial separable y se puede resolver como sigue:</p> <p>Separar las variables P y t: \[\frac{dP}{P - P^2} = dt\]</p> <p>Factorizar el denominador: \[\frac{dP}{P(1 - P)} = dt\]</p> <p>Utilizar fracciones parciales para separar el término en P: \[\frac{1}{P(1 - P)} = \frac{A}{P} + \frac{B}{1-P}\]</p> <p>Resolver para A y B, obtenemos A = 1, B = 1, entonces la ecuación se convierte en: \[\left(\frac{1}{P} + \frac{1}{1-P}\right)dP = dt\]</p> <p>Integrando ambos lados: \[\int \left(\frac{1}{P} + \frac{1}{1-P}\right)dP = \int dt\]</p> <p>\[\ln|P| - \ln|1-P| = t + C\]</p> <p>Este es el resultado de la integración donde C es la constante de integración. Para eliminar el valor absoluto y combinar los términos logarítmicos: \[\ln\left|\frac{P}{1-P}\right| = t + C\]</p> <p>Expresar la constante C como \(C = \ln|C_1|\) donde \(C_1 > 0\) para combinar los logaritmos: \[\ln\left|\frac{P}{1-P}\right| = t + \ln|C_1|\]</p> <p>Exponenciar ambos lados para eliminar el logaritmo: \[\left|\frac{P}{1-P}\right| = C_1e^t\]</p> <p>Para hallar un punto \((x, y)\) donde el teorema de existencia y unicidad no pueda garantizarse, se debe buscar un punto donde la función y sus derivadas parciales no sean continuas. En la ecuación original \(\frac{dP}{dt} = P - P^2\), la función \(f(P) = P - P^2\) y su derivada \(\frac{df}{dP} = 1 - 2P\) son continuas para todos los valores reales de P. Por lo tanto, bajo condiciones normales, el teorema de existencia y unicidad estaría garantizado. No obstante, si se empieza con una condición inicial en un punto donde la función no sea definida, como \(P = 1\), entonces no se puede aplicar el teorema de existencia y unicidad en dicho punto.</p>
Differential Equation and Existence Theorem
<p>La ecuación diferencial dada es \[ \frac{dP}{dt} = k(P_1 - P) \], donde \( k \) es una constante.</p> <p>Esta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden lineal y separable. Podemos resolverla de la siguiente manera:</p> <p>Primero separamos las variables \( P \) y \( t \): \[ \frac{dP}{P_1 - P} = k \, dt \]</p> <p>Luego integramos ambos lados de la ecuación:</p> <p>\[ \int \frac{dP}{P_1 - P} = \int k \, dt \]</p> <p>La integración del lado izquierdo requiere un cambio de variable \( u = P_1 - P \), por lo que \( du = -dP \):</p> <p>\[ \int \frac{-du}{u} = -\ln |u| + C_1 \]</p> <p>Ahora reemplazamos \( u \) por \( P_1 - P \), con \( C_1 \) como la constante de integración:</p> <p>\[ -\ln |P_1 - P| = kt + C_1 \]</p> <p>Para el lado derecho, obtenemos:</p> <p>\[ kt + C_2 \]</p> <p>Igualamos las dos expresiones:</p> <p>\[ -\ln |P_1 - P| = kt + C \]</p> <p>Exponenciamos ambos lados para deshacernos del logaritmo:</p> <p>\[ |P_1 - P| = e^{-kt+C} \]</p> <p>\[ |P_1 - P| = e^C e^{-kt} \]</p> <p>\[ P_1 - P = \pm e^C e^{-kt} \]</p> <p>Donde \( e^C \) se puede considerar otra constante, digamos \( A \):</p> <p>\[ P_1 - P = \pm A e^{-kt} \]</p> <p>\[ P = P_1 \mp A e^{-kt} \]</p> <p>La constante \( A \), o en este caso \( \pm A \), se determinará a partir de condiciones iniciales específicas.</p> <p>En cuanto al teorema de existencia y unicidad, este se aplica a funciones continuas y sus derivadas parciales continuas en relación a todas las variables independientes y dependientes. Debemos buscar puntos donde la función y/o sus derivadas parciales no sean continuas. Sin embargo, en este caso, \( f(P) = k(P_1 - P) \) es continua en \( P \) y \( k \), y también lo es su derivada parcial \( \frac{\partial f}{\partial P} = -k \), la cual es constante.</p> <p>Por lo tanto, no podemos garantizar la existencia y unicidad en puntos donde \( P \) o \( k \) no estén definidos, lo cual en este caso particular no ocurre bajo las condiciones normales de los reales. Sin embargo, si se imponen restricciones adicionales sobre \( P \) que afecten la continuidad de \( f(P) \) o su derivada parcial respecto a \( P \), eso podría ser una situación donde el teorema de existencia y unicidad no se pueda garantizar.</p>
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