Question - Differential Equation Existence and Uniqueness Theorem
Solution:
La ecuación diferencial dada es
\[\frac{dP}{dt} = P(1 - P)\]
Para resolverla, utilizaremos la separación de variables.\[\frac{dP}{P(1 - P)} = dt\]
Para resolver el lado izquierdo de la ecuación, realizamos descomposición en fracciones parciales.\[\frac{1}{P(1 - P)} = \frac{A}{P} + \frac{B}{1 - P}\]
\[1 = A(1 - P) + BP\]
\[1 = A + P(B - A)\]
Podemos equiparar coeficientes para encontrar que \(A = 1\) y \(B - A = 0\), de donde \(B = 1\).\[\frac{dP}{P(1 - P)} = \frac{dP}{P} + \frac{dP}{1 - P}\]
Integramos ambos lados de la ecuación.\[\int \frac{dP}{P} + \int \frac{dP}{1 - P} = \int dt\]
\[\ln|P| - \ln|1 - P| = t + C\]
\[\ln|\frac{P}{1 - P}| = t + C\]
Resolviendo para \(P\), tenemos\[\frac{P}{1 - P} = e^{t+C}\]
\[P = (1 - P)e^{t+C}\]
\[P(1 + e^{t+C}) = e^{t+C}\]
\[P = \frac{e^{t+C}}{1 + e^{t+C}}\]
Donde \(\frac{e^{t+C}}{1 + e^{t+C}}\) es la solución general de la ecuación diferencial. En cuanto al teorema de existencia y unicidad, este puede aplicarse cuando las funciones \(f(t, y)\) y \(\frac{\partial f}{\partial y}\) son continuas en algún rectángulo que contiene el punto \((t_0, y_0)\). En este caso, \(f(t, P) = P(1 - P)\), y su derivada parcial respecto de \(P\) es \(\frac{\partial f}{\partial P} = 1 - 2P\), las cuales son continuas para todo \(P\) en \(\mathbb{R}\). Por lo tanto, no existe un punto \((t, P)\) donde no se pueda garantizar el teorema de existencia y unicidad.CamTutor
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