Question - Differential Equation and Existence Theorem Challenge

La ecuación diferencial proporcionada es de la forma \(\frac{dP}{dt} = P(t) - P^2(t)\). Esta es una ecuación diferencial separable y se puede resolver como sigue:

Separar las variables P y t: \[\frac{dP}{P - P^2} = dt\]

Factorizar el denominador: \[\frac{dP}{P(1 - P)} = dt\]

Utilizar fracciones parciales para separar el término en P: \[\frac{1}{P(1 - P)} = \frac{A}{P} + \frac{B}{1-P}\]

Resolver para A y B, obtenemos A = 1, B = 1, entonces la ecuación se convierte en: \[\left(\frac{1}{P} + \frac{1}{1-P}\right)dP = dt\]

Integrando ambos lados: \[\int \left(\frac{1}{P} + \frac{1}{1-P}\right)dP = \int dt\]

\[\ln|P| - \ln|1-P| = t + C\]

Este es el resultado de la integración donde C es la constante de integración. Para eliminar el valor absoluto y combinar los términos logarítmicos: \[\ln\left|\frac{P}{1-P}\right| = t + C\]

Expresar la constante C como \(C = \ln|C_1|\) donde \(C_1 > 0\) para combinar los logaritmos: \[\ln\left|\frac{P}{1-P}\right| = t + \ln|C_1|\]

Exponenciar ambos lados para eliminar el logaritmo: \[\left|\frac{P}{1-P}\right| = C_1e^t\]

Para hallar un punto \((x, y)\) donde el teorema de existencia y unicidad no pueda garantizarse, se debe buscar un punto donde la función y sus derivadas parciales no sean continuas. En la ecuación original \(\frac{dP}{dt} = P - P^2\), la función \(f(P) = P - P^2\) y su derivada \(\frac{df}{dP} = 1 - 2P\) son continuas para todos los valores reales de P. Por lo tanto, bajo condiciones normales, el teorema de existencia y unicidad estaría garantizado. No obstante, si se empieza con una condición inicial en un punto donde la función no sea definida, como \(P = 1\), entonces no se puede aplicar el teorema de existencia y unicidad en dicho punto.