Question - Differential Equation and Existence Theorem

La ecuación diferencial dada es \[ \frac{dP}{dt} = k(P_1 - P) \], donde \( k \) es una constante.

Esta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden lineal y separable. Podemos resolverla de la siguiente manera:

Primero separamos las variables \( P \) y \( t \): \[ \frac{dP}{P_1 - P} = k \, dt \]

Luego integramos ambos lados de la ecuación:

\[ \int \frac{dP}{P_1 - P} = \int k \, dt \]

La integración del lado izquierdo requiere un cambio de variable \( u = P_1 - P \), por lo que \( du = -dP \):

\[ \int \frac{-du}{u} = -\ln |u| + C_1 \]

Ahora reemplazamos \( u \) por \( P_1 - P \), con \( C_1 \) como la constante de integración:

\[ -\ln |P_1 - P| = kt + C_1 \]

Para el lado derecho, obtenemos:

\[ kt + C_2 \]

Igualamos las dos expresiones:

\[ -\ln |P_1 - P| = kt + C \]

Exponenciamos ambos lados para deshacernos del logaritmo:

\[ |P_1 - P| = e^{-kt+C} \]

\[ |P_1 - P| = e^C e^{-kt} \]

\[ P_1 - P = \pm e^C e^{-kt} \]

Donde \( e^C \) se puede considerar otra constante, digamos \( A \):

\[ P_1 - P = \pm A e^{-kt} \]

\[ P = P_1 \mp A e^{-kt} \]

La constante \( A \), o en este caso \( \pm A \), se determinará a partir de condiciones iniciales específicas.

En cuanto al teorema de existencia y unicidad, este se aplica a funciones continuas y sus derivadas parciales continuas en relación a todas las variables independientes y dependientes. Debemos buscar puntos donde la función y/o sus derivadas parciales no sean continuas. Sin embargo, en este caso, \( f(P) = k(P_1 - P) \) es continua en \( P \) y \( k \), y también lo es su derivada parcial \( \frac{\partial f}{\partial P} = -k \), la cual es constante.

Por lo tanto, no podemos garantizar la existencia y unicidad en puntos donde \( P \) o \( k \) no estén definidos, lo cual en este caso particular no ocurre bajo las condiciones normales de los reales. Sin embargo, si se imponen restricciones adicionales sobre \( P \) que afecten la continuidad de \( f(P) \) o su derivada parcial respecto a \( P \), eso podría ser una situación donde el teorema de existencia y unicidad no se pueda garantizar.