Example Question - trigonometry calculation
Here are examples of questions we've helped users solve.
Finding Tangent of an Angle in the Fourth Quadrant
Para resolver esta pregunta, primero debemos entender la información que se nos da: Nos dicen que \( t \) es un ángulo en el cuarto cuadrante y \( \sin(t) = -\frac{12}{13} \). Para hallar la tangente de \( t \), es decir, \( \tan(t) \), necesitamos la relación entre el seno y el coseno del ángulo \( t \), porque \( \tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} \). Ya nos dan el valor de \( \sin(t) = -\frac{12}{13} \), que es el valor opuesto sobre la hipotenusa en un triángulo rectángulo imaginario. Para encontrar el valor de \( \cos(t) \), necesitamos determinar el valor adyacente a través del teorema de Pitágoras: \( a^2 + b^2 = c^2 \), donde \( c \) es la hipotenusa y \( a \) y \( b \) son los catetos. Sabiendo que \( \sin(t) = -\frac{12}{13} \), podemos deducir que: \[ (-12)^2 + b^2 = 13^2 \] \[ 144 + b^2 = 169 \] \[ b^2 = 169 - 144 \] \[ b^2 = 25 \] \[ b = \pm5 \] Dado que el coseno de un ángulo en el cuarto cuadrante es positivo, tomaos la raíz positiva: \[ \cos(t) = \frac{5}{13} \] Ahora, podemos encontrar \( \tan(t) \) como: \[ \tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} \] \[ \tan(t) = \frac{-\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} \] \[ \tan(t) = \frac{-12}{5} \] Por lo tanto, \( \tan(t) = -\frac{12}{5} \).
Finding Tangent Value
Para resolver la pregunta, primero necesitamos encontrar el valor del ángulo α en el triángulo rectángulo ABC. En el triángulo rectángulo, tenemos que el lado AC (hipotenusa) es la raíz cuadrada de 17 y el lado AB es 4. Podemos encontrar el ángulo α usando la definición del coseno, que es la longitud del lado adyacente (AB) dividida entre la longitud de la hipotenusa (AC): \[ \cos(\alpha) = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{\sqrt{17}} \] Ahora queremos encontrar el valor de \[ \tan\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \]. La función tangente de la diferencia entre \(\frac{\pi}{2}\) y un ángulo es igual a la cotangente de dicho ángulo. Esto se debe a las identidades trigonométricas y al hecho de que la tangente y la cotangente son funciones co-secantes. Entonces, podemos establecer que: \[ \tan\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cot(\alpha) \] Y recordamos que la cotangente es el recíproco de la tangente, lo que significaría también que: \[ \cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} \] Entonces necesitamos encontrar el valor de la tangente de α para luego tomar su recíproco. Usando otra identidad trigonométrica, la cual establece que el coseno de un ángulo es el recíproco de la secante, podemos escribir: \[ \sec(\alpha) = \frac{1}{\cos(\alpha)} \] \[ \sec(\alpha) = \frac{\sqrt{17}}{4} \] Dado que en un triángulo rectángulo la tangente de un ángulo (α) es igual al seno sobre el coseno y utilizando que la secante es el recíproco del coseno, podemos expresar la tangente como: \[ \tan(\alpha) = \sin(\alpha) \cdot \sec(\alpha) \] Pero no tenemos el valor del seno de α directamente. Podemos obtener el lado opuesto (BC) al ángulo α usando el teorema de Pitágoras: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \] \[ (\sqrt{17})^2 = 4^2 + BC^2 \] \[ 17 = 16 + BC^2 \] \[ BC^2 = 17 - 16 \] \[ BC = \sqrt{1} \] \[ BC = 1 \] Entonces el valor del seno de α es: \[ \sin(\alpha) = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{\sqrt{17}} \] Multiplicamos el seno por la secante para obtener la tangente de α: \[ \tan(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{4} = \frac{1}{4} \] Ahora tomamos el recíproco para obtener la cotangente de α: \[ \cot(\alpha) = \frac{4}{1} \] Por lo tanto, el valor de la tangente de \(\frac{\pi}{2} - \alpha\) es: \[ \tan\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = 4 \]
Calculating sine value in a triangle using cosine rule
在三角形ABC中，AB=4，BC=5，AC=6。设∠BAC为θ角，计算sinθ的值。 首先，我们可以使用余弦定理来计算角A的余弦值，余弦定理的公式是： c² = a² + b² - 2ab * cos(C) 在这种情况下，我们求cos(θ)，其中c = BC = 5, a = AC = 6, b = AB = 4, C 就是角θ。把这些值代入上面的余弦定理公式： 5² = 6² + 4² - 2 * 6 * 4 * cos(θ) 解这个方程： 25 = 36 + 16 - 48 * cos(θ) 25 = 52 - 48 * cos(θ) 48 * cos(θ) = 52 - 25 48 * cos(θ) = 27 cos(θ) = 27 / 48 cos(θ) = 9 / 16 我们现在知道cos(θ)，我们可以使用正弦和余弦之间的基本关系sin²(θ) + cos²(θ) = 1。换算得到sin(θ)： sin²(θ) = 1 - cos²(θ) sin²(θ) = 1 - (9/16)² sin²(θ) = 1 - 81/256 sin²(θ) = (256/256) - (81/256) sin²(θ) = 175/256 sin(θ) = √(175/256) sin(θ) 约等于 √(175) / 16 sin(θ) 约等于 13.23 / 16 sin(θ) 约等于 0.826 因此，sinθ的值约为0.826。
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