Question - Finding Tangent Value
Solution:
Para resolver la pregunta, primero necesitamos encontrar el valor del ángulo α en el triángulo rectángulo ABC.En el triángulo rectángulo, tenemos que el lado AC (hipotenusa) es la raíz cuadrada de 17 y el lado AB es 4. Podemos encontrar el ángulo α usando la definición del coseno, que es la longitud del lado adyacente (AB) dividida entre la longitud de la hipotenusa (AC):\[ \cos(\alpha) = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{\sqrt{17}} \]Ahora queremos encontrar el valor de \[ \tan\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \].La función tangente de la diferencia entre $$\frac{\pi}{2}$$ y un ángulo es igual a la cotangente de dicho ángulo. Esto se debe a las identidades trigonométricas y al hecho de que la tangente y la cotangente son funciones co-secantes. Entonces, podemos establecer que:\[ \tan\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cot(\alpha) \]Y recordamos que la cotangente es el recíproco de la tangente, lo que significaría también que:\[ \cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} \]Entonces necesitamos encontrar el valor de la tangente de α para luego tomar su recíproco. Usando otra identidad trigonométrica, la cual establece que el coseno de un ángulo es el recíproco de la secante, podemos escribir:\[ \sec(\alpha) = \frac{1}{\cos(\alpha)} \]\[ \sec(\alpha) = \frac{\sqrt{17}}{4} \]Dado que en un triángulo rectángulo la tangente de un ángulo (α) es igual al seno sobre el coseno y utilizando que la secante es el recíproco del coseno, podemos expresar la tangente como:\[ \tan(\alpha) = \sin(\alpha) \cdot \sec(\alpha) \]Pero no tenemos el valor del seno de α directamente. Podemos obtener el lado opuesto (BC) al ángulo α usando el teorema de Pitágoras:\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \]\[ (\sqrt{17})^2 = 4^2 + BC^2 \]\[ 17 = 16 + BC^2 \]\[ BC^2 = 17 - 16 \]\[ BC = \sqrt{1} \]\[ BC = 1 \]Entonces el valor del seno de α es:\[ \sin(\alpha) = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{\sqrt{17}} \]Multiplicamos el seno por la secante para obtener la tangente de α:\[ \tan(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{4} = \frac{1}{4} \]Ahora tomamos el recíproco para obtener la cotangente de α:\[ \cot(\alpha) = \frac{4}{1} \]Por lo tanto, el valor de la tangente de $$\frac{\pi}{2} - \alpha$$ es:\[ \tan\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = 4 \]
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