Question - Trigonometric Equation Solution

给定方程 \(2 \tan \theta = 3 \cos \theta\)，求解 \(\theta\)，其中 \(0^\circ \leq \theta < 360^\circ\)。

将 \(\tan \theta\) 转换为 \(\sin \theta\) 和 \( \cos \theta\) 的比率：

\(2 \cdot \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 3 \cos \theta\)

交叉相乘得到：

\(2 \sin \theta = 3 \cos^2 \theta\)

我们知道 \(\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta\), 所以代入得：

\(2 \sin \theta = 3 (1 - \sin^2 \theta)\)

现在我们得到一个关于 \(\sin \theta\) 的二次方程：

\(3 \sin^2 \theta + 2 \sin \theta - 3 = 0\)

使用求根公式得到 \(\sin \theta\) 的值：

\(\sin \theta = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4\cdot3\cdot(-3)}}{2\cdot3}\)

\(\sin \theta = \frac{-2 \pm \sqrt{4+36}}{6}\)

\(\sin \theta = \frac{-2 \pm \sqrt{40}}{6}\)

\(\sin \theta = \frac{-2 \pm 2\sqrt{10}}{6}\)

由于 \(0^\circ \leq \theta < 360^\circ\)，我们需要考虑正弦函数的所有可能值：

负数解不在给定的区间内，我们采用：

\(\sin \theta = \frac{-2 + 2\sqrt{10}}{6}\)

然后利用反正弦函数找到对应的角度值，在 \(0^\circ \leq \theta < 180^\circ\) 时为主值，\(180^\circ \leq \theta < 360^\circ\) 时为同周期值：

\(\theta = \arcsin\left(\frac{-2 + 2\sqrt{10}}{6}\right)\) or \(\theta = 180^\circ - \arcsin\left(\frac{-2 + 2\sqrt{10}}{6}\right)\)

计算得到角度值并保留到最近的 \(0.1^\circ\)：

\(\theta \approx 43.9^\circ\) or \(\theta \approx 136.1^\circ\)

所以答案是 C)。