Question - Calculations for Cylinder: Surface Area and Volume
Solution:
Primero, necesitamos recordar las fórmulas para calcular el área de la superficie total y el volumen de un cilindro:El área de la superficie total (At) de un cilindro es calculada por la suma del área de las dos bases (que son círculos) más el área de la pared lateral (que es un rectángulo si se despliega).La fórmula del círculo es $$ A = \pi r^2 $$, donde $$ r $$ es el radio del círculo.La fórmula del área lateral de un cilindro es $$ Al = 2 \pi r h $$, donde $$ h $$ es la altura del cilindro.Entonces, el área total es la suma de las áreas de las bases y la pared lateral:\[ At = 2 (\pi r^2) + (2 \pi r h) \]El volumen (V) de un cilindro es calculado por:\[ V = \pi r^2 h \]Dado que tenemos un diámetro de 15 cm, el radio $$ r $$ es la mitad de esto, así que $$ r = 7.5 $$ cm. La altura $$ h $$ es de 30 cm.Ahora, calculamos la superficie total:\[ At = 2 (\pi (7.5)^2) + (2 \pi (7.5) (30)) \]\[ At ≈ 2 (3.1416 \times 56.25) + (2 \times 3.1416 \times 7.5 \times 30) \]\[ At ≈ 2 (177.15) + (471.24) \]\[ At ≈ 354.3 + 471.24 \]\[ At ≈ 825.54 \text{ cm}^2 \]Y para el volumen:\[ V = \pi (7.5)^2 (30) \]\[ V ≈ 3.1416 \times 56.25 \times 30 \]\[ V ≈ 3.1416 \times 1687.5 \]\[ V ≈ 5298.75 \text{ cm}^3 \]Parece que hay un error en los cálculos porque las cifras no coinciden con las opciones dadas en la imagen. Revisemos los cálculos:El área de las dos bases (círculos) sería:\[ Ab = 2 \cdot \pi \cdot r^2 = 2 \cdot \pi \cdot (7.5)^2 = 2 \cdot 3.1416 \cdot 56.25 \]\[ Ab = 2 \cdot 176.71 = 353.42 \text{ cm}^2 \] (aproximadamente)Ahora, el área lateral (rectángulo) sería la circunferencia de una base por la altura:\[ Al = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h = 2 \cdot 3.1416 \cdot 7.5 \cdot 30 \]\[ Al = 471.24 \cdot 30 = 1413.72 \text{ cm}^2 \] (aproximadamente)Juntando ambas áreas obtenemos el área total del cilindro:\[ At = Ab + Al = 353.42 \text{ cm}^2 + 1413.72 \text{ cm}^2 \]\[ At = 1767.14 \text{ cm}^2 \] (aproximadamente)Ahora calcularemos el volumen nuevamente:\[ V = \pi \cdot r^2 \cdot h = 3.1416 \cdot (7.5)^2 \cdot 30 \]\[ V = 3.1416 \cdot 56.25 \cdot 30 \]\[ V = 3.1416 \cdot 1687.5 \]\[ V = 5303.05 \text{ cm}^3 \] (aproximadamente)Aparentemente, los resultados no corresponden a ninguna de las opciones presentadas en la imagen. Puede haber un error en la imagen o en los valores proporcionados. Revisa los valores de entrada o la formulación de las opciones propuestas. En cualquier caso, quizás debas comunicarte con el instructor o la fuente del problema para clarificar la discrepancia.
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