Example Question - solution
Here are examples of questions we've helped users solve.
Solving an Equation
<p>Starting with the equation:</p> <p>r - 76 = 54</p> <p>Add 76 to both sides:</p> <p>r = 54 + 76</p> <p>r = 130</p> <p>The solution is r = 130.</p>
Matrix Equation Solution
<p>Let A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ y & 5 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 6 & x \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ x & 7 \end{pmatrix}.</p> <p>Then, we have:</p> <p>A + B = C.</p> <p>Thus, we can write:</p> <p>\begin{pmatrix} 0 + 4 & 1 - 1 \\ y + 6 & 5 + x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ x & 7 \end{pmatrix}.</p> <p>From this, we can derive the equations:</p> <p>0 + 4 = 4,</p> <p>1 - 1 = 0,</p> <p>y + 6 = x,</p> <p>5 + x = 7.</p> <p>Solve the last equation for x:</p> <p>x = 7 - 5 = 2.</p> <p>Then substitute x back into the third equation:</p> <p>y + 6 = 2.</p> <p>y = 2 - 6 = -4.</p> <p>The values of y and x are:</p> <p>x = 2,</p> <p>y = -4.</p>
Solving for the Sine Given the Tangent
<p>Si tenemos que \(\tan(\alpha) = 0.25\), recordemos que \(\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\).</p> <p>Ahora, podemos usar la identidad fundamental de la trigonometría que dice que \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \). Despejando \(\cos(\alpha)\), tenemos:</p> <p>\( \cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) \).</p> <p>Pero como \(\tan(\alpha) = 0.25 = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \), si despejamos \(\sin(\alpha)\) en términos de \(\cos(\alpha)\), obtenemos:</p> <p>\( \sin(\alpha) = 0.25 \cos(\alpha) \).</p> <p>Cuadrando ambos lados de la igualdad:</p> <p>\( \sin^2(\alpha) = 0.0625 \cos^2(\alpha) \).</p> <p>Reemplazando esto en la identidad fundamental, tenemos:</p> <p>\( 0.0625 \cos^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \).</p> <p>Sumando los términos semejantes:</p> <p>\( (0.0625 + 1) \cos^2(\alpha) = 1 \).</p> <p>\( 1.0625 \cos^2(\alpha) = 1 \).</p> <p>Despejando \(\cos^2(\alpha)\), obtenemos:</p> <p>\( \cos^2(\alpha) = \frac{1}{1.0625} \).</p> <p>\( \cos^2(\alpha) = \frac{16}{17} \).</p> <p>Tomando la raíz cuadrada de ambos lados:</p> <p>\( \cos(\alpha) = \sqrt{\frac{16}{17}} \) o \( \cos(\alpha) = -\sqrt{\frac{16}{17}} \), pero como estamos buscando el seno, y la relación entre seno y coseno es positiva para el primer y tercer cuadrante, tomaremos la raíz positiva para encontrar el seno positivo correspondiente.</p> <p>\( \cos(\alpha) = \sqrt{\frac{16}{17}} \).</p> <p>Usando nuestra relación original entre el seno y el coseno:</p> <p>\( \sin(\alpha) = 0.25 \cdot \sqrt{\frac{16}{17}} \).</p> <p>\( \sin(\alpha) = \frac{0.25 \cdot 4}{\sqrt{17}} \).</p> <p>\( \sin(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{17}} \).</p> <p>\( \sin(\alpha) = \sqrt{\frac{1}{17}} \).</p> <p>\( \sin(\alpha) ≈ \sqrt{0.05882352941} \).</p> <p>\( \sin(\alpha) ≈ 0.242535625 \).</p>
Differential Equation Problem Solving
Dado que la imagen proporciona un problema de ecuación diferencial, primero identificamos la ecuación dada y luego seguimos los pasos para resolverla. La ecuación proporcionada es: \[ \left(\frac{1}{1 + y^2} + \cos x - 2xy\right)\frac{dy}{dx} = y(\sqrt{y} + \sen x), \quad y(0) = 1 \] Para resolver esta ecuación diferencial, vamos a realizar los siguientes pasos: <p>Paso 1: Separar las variables $\frac{dy}{dx}$ y $x$, a un lado de la igualdad y las variables $dy$ y $y$, al otro lado.</p> <p>Paso 2: Integramos ambos lados para encontrar una solución implícita.</p> La ecuación es no lineal y no se separa fácilmente en términos de $x$ y $y$, lo cual significa que requerimos aplicar técnicas avanzadas de resolución que pueden involucrar métodos numéricos o cambios de variables adecuados. En este caso, la solución explícita puede no ser directa o posible de expresar en términos de funciones elementales.</p> <p>Nota: La resolución detallada de dicha ecuación diferencial va más allá del alcance de esta respuesta simplificada y requerirá herramientas matemáticas más avanzadas como son las ecuaciones diferenciales implícitas, uso de series de potencias, o aproximaciones numéricas.</p>
Solving a Differential Equation
<p>La ecuación diferencial que se proporciona es:</p> <p>\[\frac{dP}{dt} = \alpha(P_{1} - P)\]</p> <p>Esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden, que puede resolverse utilizando el método de las variables separables. Moviendo los términos correspondientes a cada lado de la ecuación, se obtiene:</p> <p>\[\frac{dP}{\alpha(P_{1} - P)} = dt\]</p> <p>Integrando ambos lados de la ecuación, se tiene:</p> <p>\[\int \frac{1}{\alpha(P_{1} - P)} dP = \int dt\]</p> <p>Resolviendo la integral del lado izquierdo (utilizando \(u = P_{1} - P\) y \(du = -dP\)), nos da:</p> <p>\[-\frac{1}{\alpha} \int \frac{1}{u} du = \int dt\]</p> <p>\[-\frac{1}{\alpha} \ln|P_{1} - P| = t + C\]</p> <p>donde \(C\) es la constante de integración. Para resolver para \(P\), se puede exponentiar ambos lados para deshacer el logaritmo:</p> <p>\[|P_{1} - P| = e^{-\alpha(t + C)}\]</p> <p>Para eliminar el valor absoluto, consideramos dos casos, \(P_1 - P\) y \(P - P_1\):</p> <p>\[P_{1} - P = e^{-\alpha(t + C)} \qquad \text{o} \qquad P - P_{1} = e^{-\alpha(t + C)}\]</p> <p>Resolviendo para \(P\) en ambos casos, obtenemos:</p> <p>\[P(t) = P_{1} - e^{-\alpha(t + C)} \qquad \text{o} \qquad P(t) = e^{-\alpha(t + C)} + P_{1}\]</p> <p>La constante \(C\) puede determinarse con una condición inicial \(P(t_0) = P_0\), donde \(P_0\) y \(t_0\) son conocidos.</p> <p>Para encontrar un punto \((x,y)\) donde el teorema de existencia y unicidad no se puede garantizar, necesitamos identificar un punto donde la función \(f(P) = \alpha(P_1 - P)\) o sus derivadas parciales no sean continuas. En este caso, la función \(f\) es lineal y continua para todo \(P\) y no tiene puntos donde no sea diferenciable. Por lo tanto, no hay punto \((x,y)\) en los que el teorema de existencia y unicidad pueda ser cuestionado para esta ecuación diferencial particular.</p>
Differential Equation Existence and Uniqueness Theorem Challenge
<p>La ecuación diferencial dada es: \[\frac{dP}{dt} = P(1 - P)\]</p> <p>Esta es una ecuación diferencial separable, y podemos resolverla de la siguiente manera:</p> <p>Separando las variables P y t, obtenemos: \[\frac{dP}{P(1 - P)} = dt\]</p> <p>Para integrar el lado izquierdo, utilizamos fracciones parciales:</p> <p>\[\frac{1}{P(1 - P)} = \frac{A}{P} + \frac{B}{1 - P}\]</p> <p>Resolviendo para A y B, encontramos que A = 1 y B = 1. Entonces la ecuación queda de la siguiente manera:</p> <p>\[\frac{dP}{P(1 - P)} = \frac{dP}{P} + \frac{dP}{1-P}\]</p> <p>Integramos ambos lados:</p> <p>\[\int \frac{dP}{P} + \int \frac{dP}{1 - P} = \int dt\]</p> <p>\[\ln|P| - \ln|1 - P| = t + C\]</p> <p>Donde C es la constante de integración.</p> <p>Podemos encontrar un valor específico para la constante C con condiciones iniciales, si se proporcionan. Luego, resolver para P en términos de t proporcionaría la solución general o particular a la ecuación diferencial.</p> <p>En cuanto al punto \((x, y)\) donde el teorema de existencia y unicidad no podría garantizarse, necesitaríamos buscar donde el campo de direcciones o la función \(f(x, y) = y(1 - y)\) no es continua o tiene discontinuidades. Esto ocurre cuando el denominador se hace cero, es decir, \(P = 0\) o \(P = 1\). Por lo tanto, los puntos en los cuales el teorema de existencia y unicidad no podría garantizarse serían puntos en los que \(P = 0\) o \(P = 1\), que corresponden a soluciones de estado estacionario o puntos de equilibrio de la ecuación diferencial.</p>
Selection of the Correct Sentence Completion for a Reading Question
Unfortunately, I can't provide a solution for the question in the image.
Quadratic Equation Solution
\[ \begin{align*} 3x^2 + 5x - 2 &= 0 \\ (3x - 1)(x + 2) &= 0 \\ \end{align*} \] \[ \begin{align*} 3x - 1 &= 0 \quad 或 \quad x + 2 = 0 \\ x &= \frac{1}{3} \quad 或 \quad x = -2 \\ \end{align*} \]
Solving the St. Ives Riddle
The riddle in the image is a classic brain teaser. It reads: "On my way to St. Ives, I met a man with seven wives. Each wife had seven sacks, each sack had seven cats, and each cat had seven kits. Kits, cats, sacks, and wives. How many were going to St. Ives?" The trick to solving this riddle lies in the first sentence: "On my way to St. Ives, I met a man with seven wives." If you met them on the way to St. Ives, it does not necessarily mean that the man, his wives, their sacks, cats, or kits were going to St. Ives. Therefore, the only person implied to be going to St. Ives is "I", which refers to the person speaking in the riddle. The answer is that only one person was going to St. Ives.
Absolute Value Inequality Solution
The inequality is \( 3|d| + 5 < 47 \). First, we'll isolate the absolute value expression by subtracting 5 from both sides of the inequality: \( 3|d| + 5 - 5 < 47 - 5 \) \( 3|d| < 42 \) Now, divide both sides by 3 to solve for the absolute value of d: \( \frac{3|d|}{3} < \frac{42}{3} \) \( |d| < 14 \) Since we have an absolute value inequality, we know that \( |d| < 14 \) means that d is less than 14 and greater than -14. Therefore, the solution set for d is: \( -14 < d < 14 \)
Simple Addition Equation Solution
The equation in the image shows "5 + 5". To solve this, you simply add the two numbers together. 5 + 5 = 10 So, the solution to the equation is 10.
Absolute Value Equation Solution
The given equation is an absolute value equation. Recall that if |x| = a, then x can either be a or -a. Let's apply this property to find all values of c. We have |c - 20| = 45. This leads to two possible cases: 1. c - 20 = 45 2. c - 20 = -45 Solving both cases: For case 1: c - 20 = 45 c = 45 + 20 c = 65 For case 2: c - 20 = -45 c = -45 + 20 c = -25 Thus, the two solutions for c are c = 65 and c = -25.
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