Example Question - set theory
Here are examples of questions we've helped users solve.
Set Theory Problem Involving Intersection of Sets in Roster Form
<p>To find \( A \cap B \) in roster form, identify the elements common to both set \( A \) and set \( B \).</p> <p>By definition from the question:</p> <p>\( A = \{x: x \leq 10, x \in \mathbb{N}, x \text{ is a prime number}\} \)</p> <p>\( B = \{x: x \in \mathbb{N}, x \text{ is even}\} \)</p> <p>First list the prime numbers less than or equal to 10 (prime numbers are numbers greater than 1 that have no positive divisors other than 1 and itself): 2, 3, 5, 7</p> <p>Now list the even natural numbers (since only 2 is both even and prime): 2</p> <p>Therefore, the intersection of set A and set B, \( A \cap B \), which includes all the elements that are both prime and even is: {2}, since 2 is the only even prime number.</p> <p>\( A \cap B = \{2\} \).</p>
Set Theory Intersection Question
<p>题目给出集合 \(A = \{ x | -2 \leq x \leq 10 \} \) 和 \(B = \{ y | y \in \mathbb{R} \text{ 且 } y = \frac{1}{x-1} \}\)，要求找出 \(A \cap B \) 的集合。</p> <p>首先，我们需要解析集合B，确定 \(y = \frac{1}{x-1}\) 在实数范围内的定义域。由于 \(x\) 不能等于1（分母不能为零），集合B的实际定义域为所有实数除了1，即 \(x \in \mathbb{R}, x \neq 1\)。</p> <p>由集合A的范围，我们知道 \(A = \{ x | -2 \leq x \leq 10 \}\)，但由于 \(x\) 不能等于1，所以 \(A \cap B\) 将排除1这个值，结果将是 \(-2 \leq x < 1\) 或 \(1 < x \leq 10\)。</p> <p>所以， \(A \cap B = \{ x | -2 \leq x < 1 \text{ 或 } 1 < x \leq 10 \}\)，因此正确选项是 D. \([-2, -1, 0, 1, 2]\)。</p>
Analyzing Student Sport Preferences
<p>(a) Untuk mewakilkan setiap murid dengan huruf pertama dari nama mereka:</p> <p>M = \{ Badminton, Tennis \}</p> <p>S = \{ Badminton, Tennis, Hockey \}</p> <p>E = \{ Badminton, Tennis \}</p> <p>F = \{ Badminton, Tennis, Hockey \}</p> <p>B = \{ Badminton, Tennis \}</p> <p>C = \{ Hockey \}</p> <p>G = \{ Hockey \}</p> <p>H = \{ Hockey, Tennis \}</p> <p>Lukis diagram Venn untuk menunjukkan hubungan antara set-set ini.</p> <p>(b) Menggunakan simbol "{u}" untuk menggambarkan daerah yang diduduki oleh Davis dan Franco:</p> <p>D \cup F = \{ Badminton, Tennis, Hockey \}</p> <p>Lukis diagram Venn dan tunjukkan daerah D \cup F dengan simbol "{u}".</p>
Solving Set Theory Problems with Roster Notation
<p>\text{There are five problems to solve in this question.}</p> <p>\text{1. Convert the set-builder notation } \{x | x \text{ is a natural number less than 5}\} \text{ to roster form. }</p> <p>\text{Solution: } \{1, 2, 3, 4\}</p> <p>\text{2. Express the set } G = \{x | x \text{ is an even number between 1 and 20}\} \text{ in roster form. }</p> <p>\text{Solution: } \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20\}</p> <p>\text{3. Express the set } L = \{x | x \text{ is a letter in the word "MATHEMATICS"}\} \text{ in roster form. }</p> <p>\text{Solution: } \{'M', 'A', 'T', 'H', 'E', 'I', 'C', 'S'\}</p> <p>\text{4. Convert the set-builder notation } \{x | x \text{ is an odd integer greater than 5 and less than 15}\} \text{ to roster form. }</p> <p>\text{Solution: } \{7, 9, 11, 13\}</p> <p>\text{5. If } A = \{x | x \text{ is a prime number less than 10}\}, \text{ what is } A? </p> <p>\text{Solution: } \{2, 3, 5, 7\}</p>
Writing Sets of Multiples in Roster and Set-Builder Notations
<p>To find all multiples of \(3\) between \(1\) and \(20\), we list the multiples within this range.</p> <p>Roster form: \(\{3, 6, 9, 12, 15, 18\}\)</p> <p>To express this set in set-builder notation, we define the properties that all elements of the set share. All elements \(x\) are multiples of \(3\), hence \(x = 3n\) for some integer \(n\), and \(x\) is greater than \(1\) and less than or equal to \(20\).</p> <p>Set-builder form: \(\{x \mid x = 3n, n \in \mathbb{Z}, 1 < x \leq 20\}\)</p>
Conversion between Roster Form and Set-Builder Notation
<p>\begin{align*} A &= \{1, 3, 5, 7, 9\} \text{ in set-builder notation is } A = \{ x | x \text{ is an odd number less than 10} \}. \end{align*}</p> <p>\begin{align*} B &= \{a, e, i, o, u\} \text{ in set-builder notation is } B = \{ x | x \text{ is a vowel in the English alphabet} \}. \end{align*}</p> <p>\begin{align*} C &= \{2, 4, 6, 8, 10\} \text{ in set-builder notation is } C = \{ x | x \text{ is an even number less than or equal to 10} \}. \end{align*}</p> <p>\begin{align*} D &= \{x | x \text{ is a prime number less than 10}\} \text{ in roster form is } D = \{2, 3, 5, 7\}. \end{align*}</p> <p>\begin{align*} E &= \{10, 20, 30, 40, 50\} \text{ in set-builder notation is } E = \{ x | x = 10n, n \in \mathbb{N}, 1 \leq n \leq 5 \}. \end{align*}</p>
Set Theory Statement Evaluation
Trong bức ảnh bạn đã cung cấp, có câu hỏi về lý thuyết tập hợp. Đầu tiên, chúng ta hãy xác định từng phát biểu: A: "Có hai tâm thế đều giữ số chẵn." B: "Chỉ có một tâm thế giữ số chẵn." C: "Tích hai số giữa trên hai tâm thế là một số chẵn." D: "Trong hai số giữa trên hai tâm thế là một số chẵn." Câu hỏi yêu cầu xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau: a) \(D \Rightarrow B\) b) \(C \Leftrightarrow A\) c) \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \) Để có câu trả lời chính xác, chúng ta cần phân tích từng mệnh đề: **a) \(D \Rightarrow B\)**: Nếu trong hai số giữa (D) có ít nhất một số chẵn, điều đó không nhất thiết đồng nghĩa với việc chỉ có một số chẵn (B). Ví dụ, nếu hai số là 4 và 6, cả hai đều là số chẵn, mệnh đề D đúng nhưng B sai. Vậy mệnh đề này là sai. **b) \(C \Leftrightarrow A\)**: Nếu sản phẩm của hai số giữa là một số chẵn (C), điều đó có nghĩa là ít nhất một trong hai số đó phải là số chẵn. Nếu cả hai số đều là số chẵn, tích sẽ là chẵn (A), và điều ngược lại cũng đúng. Vậy mệnh đề này là đúng. **c) \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \)**: Đây là công thức cơ bản của xác suất khi \( A \) và \( B \) là hai sự kiện độc lập. Tuy nhiên, ở đây \( A \) và \( B \) không độc lập vì không thể xảy ra cùng một lúc (không thể có cả hai tâm thế đều giữ số chẵn và chỉ một tâm thế giữ số chẵn cùng một lúc). Do đó, mệnh đề này là sai. Như vậy, sau khi kiểm tra từng phần, ta có: a) Sai b) Đúng c) Sai
Set Theory and Mathematical Calculation for Sports
Đây là một bài toán về lý thuyết tập hợp và sử dụng phép tính toán học cơ bản để giải quyết. Chúng ta có thể sử dụng nguyên lý bù trừ để giải quyết bài toán này. Gọi: B - số học sinh chơi bóng rổ. V - số học sinh chơi bóng chuyền. H - số học sinh chơi bóng chày. Theo đề bài, ta có thông tin sau: B = 55 V = 48 H = 52 B ∩ V = 30 V ∩ H = 16 B ∩ H = 18 B ∩ V ∩ H = 9 Ta cần tìm số học sinh không chơi bất kỳ môn thể thao nào trong số ba môn được kể tên. Gọi tổng số học sinh được hỏi là T (T = 105 theo đề bài) và gọi N là số học sinh không chơi bất kỳ môn nào. Theo nguyên lý bù trừ, ta có số học sinh chơi ít nhất một môn thể thao là: B + V + H - (B ∩ V) - (V ∩ H) - (B ∩ H) + (B ∩ V ∩ H) Thay số liệu vào, ta có: 55 + 48 + 52 - 30 - 16 - 18 + 9 = 100 Như vậy, có tổng cộng 100 học sinh chơi ít nhất một môn thể thao. Vì tổng số học sinh được hỏi là 105, số học sinh không chơi bất kỳ môn nào là: N = T - (số học sinh chơi ít nhất một môn) N = 105 - 100 = 5 Vậy có 5 học sinh không chơi bất kỳ một trong ba trò chơi bóng nào.
Set Theory and Relations Worksheet
This image appears to show a question from an academic worksheet or test, related to set theory and relations. (a) The first part of the question asks you to state the (i) object part 3, (ii) the relation in the form of a set of ordered pairs. From the diagram, we can see that Set A includes the elements {1, 2, 3, 4} and Set B includes the elements {5, 6, 7, 8}. (i) The object part 3 in Set A appears to be related to the number 7 in Set B. (ii) As for the relation in the form of a set of ordered pairs, we would read the arrows connecting elements of Set A to elements of Set B to form these pairs. The complete set of ordered pairs, assuming we can see all links between the sets, appears to be: R = {(1, 5), (1, 6), (2, 6), (2, 7), (3, 7), (4, 8)} (b) For the second part of the question, we need to determine whether this relation is a function or not and provide reasoning for the answer. A relation from Set A to Set B is a function if and only if every element of Set A is related to no more than one element in Set B. Looking at the ordered pairs and the diagram: 1 is related to 5 and 6, which is more than one element of Set B. 2 is related to 6 and 7, which is more than one element of Set B. 3 is related only to 7. 4 is related only to 8. Since at least one element of Set A (specifically 1 and 2) is related to more than one element of Set B, the relation is NOT a function. Thus, your answer to part (b) would be that the relation is not a function because there exists an element in Set A that is related to more than one element in Set B.
Event-Based Questions and Letter Probability
Let's solve the event-based questions from the image provided. A tile is selected from seven tiles, each labeled with a different letter from the first seven letters of the alphabet. So we have tiles labeled A, B, C, D, E, F, G. Event X: The letter selected is found in the word 'BAG'. The outcomes for Event X are: B, A, G. Event Y: The letter selected comes after 'C'. The outcomes for Event Y are: D, E, F, G. Now let's answer the parts of the question: (a) Event "X or Y": This is the union of events X and Y, meaning the letter is in 'BAG' or comes after 'C'. The outcomes are: A, B, G (from Event X) and D, E, F, G (from Event Y). Combined without duplicates, we get: A, B, D, E, F, G (b) Event "X and Y": This is the intersection of events X and Y, meaning the letter is both in 'BAG' and comes after 'C'. The outcome is: G (since G is the only letter in both sets). (c) The complement of the event X: This is the set of outcomes that are not in Event X. Since Event X has A, B, and G, the complement of Event X is the set of letters not in 'BAG' but within the first seven letters of the alphabet. The outcomes are: C, D, E, F.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com