Example Question - roots of equations
Here are examples of questions we've helped users solve.
Solving a Fourth Degree Algebraic Equation
Đây là một bài toán đại số với phương trình \(x^4 - 12x^2 + 16 = 0\). Để giải phương trình này, ta có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ. Cụ thể, đặt \(t = x^2\) (với \(t \geq 0\) vì \(x^2\) không âm). Phương trình sẽ trở thành: \(t^2 - 12t + 16 = 0\) Giờ ta giải phương trình bậc hai này: Ứng dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(t^2 + bt + c = 0\) là \(t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), ta có: \(a = 1, b = -12, c = 16\) Áp dụng công thức, ta tính được: \(t = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}\) \(t = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 64}}{2}\) \(t = \frac{12 \pm \sqrt{80}}{2}\) \(t = \frac{12 \pm 4\sqrt{5}}{2}\) \(t = 6 \pm 2\sqrt{5}\) Vì \(t\) là \(x^2\) và \(x^2\) không thể âm, nên ta chỉ xét \(t = 6 + 2\sqrt{5}\) hoặc \(t = 6 - 2\sqrt{5}\). Giờ ta sẽ quay lại biến \(x\) bằng cách lấy căn bậc hai của t: \(x^2 = 6 + 2\sqrt{5}\) hoặc \(x^2 = 6 - 2\sqrt{5}\) Lấy căn bậc hai cho cả hai vế, ta sẽ có các nghiệm cho x là: \(x = \sqrt{6 + 2\sqrt{5}}\), \(x = -\sqrt{6 + 2\sqrt{5}}\), \(x = \sqrt{6 - 2\sqrt{5}}\), và \(x = -\sqrt{6 - 2\sqrt{5}}\). Đây là các nghiệm của phương trình \(x^4 - 12x^2 + 16 = 0\).
Solving a Quadratic Equation for Integer N
这个数学问题是关于解一元二次方程的。题目是： 若平方根x等于2/3，且整数N是2/5的倍数时，严格整数分解式最高可有10次幂，请计算N的值。 为了解这个问题，我们首先需要建立一个一元二次方程。根据题目描述，“平方根x等于2/3”，可以表示为： x^(1/2) = 2/3 将这个方程平方，以便去掉根号： x = (2/3)^2 x = 4/9 现在我们知道x的值是4/9。根据题目描述的第二部分，N是2/5的倍数，写作k(2/5)，其中k是一个整数。于是我们可以得到N = 2k/5。 由于N是严格整数分解式，我们可以知道当N的分解中最高有10次幂时，N是一个整数。所以分子必须至少是5的10次幂才能确保分母的所有5乘以2k之后依旧是整数。5的10次幂是5^10，这是最小的整数，它包含5的10次幂。 那么，N = 2k/5中k必须是5^9，这样N才会是一个整数（相当于分母中的一个5和分子中的一个5约去，得到的结果是一个整数）。 所以： N = (2 * 5^9) / 5 N = 2 * 5^8 N = 2 * 390625 N = 781250 综上所述，N的值是781250。
Solving Equations in the Provided Image
Tôi sẽ hướng dẫn bạn giải các phương trình trong hình ảnh bạn cung cấp. Chúng ta sẽ làm từng câu một. **Câu 1:** Giải các bất phương trình sau: a) \(2x^2 - 5x + 2 < 0\) Ta tìm nghiệm của phương trình \(2x^2 - 5x + 2 = 0\). Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \(a = 2\), \(b = -5\), \(c = 2\) Delta (\(\Delta\)) được tính bằng \(b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9\) Nghiệm của phương trình là: \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 + 3}{4} = 2\) \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}\) Vì hệ số \(a = 2 > 0\) nên parabol hướng lên trên. Như vậy, bất phương trình \(2x^2 - 5x + 2 < 0\) có nghiệm là \(x \in \left( \frac{1}{2}, 2 \right)\). b) \(\sqrt{x + 2} - 12 = 8 - x\) Đặt điều kiện xác định (ĐKXĐ) cho căn thức bên trái là \(x + 2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -2\) Giải phương trình: \(\sqrt{x + 2} = 20 - x\) Bình phương hai vế của phương trình ta được: \(x + 2 = (20 - x)^2\) Tiếp tục giải phương trình bậc hai này: \(x^2 - 40x + 398 = 0\) Sử dụng công thức nghiệm ta có: Delta (\(\Delta\)) = \(b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 398 = 1600 - 1592 = 8\) Do \(\Delta > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(x_1 = \frac{40 + \sqrt{8}}{2} = 20 + \sqrt{2}\) \(x_2 = \frac{40 - \sqrt{8}}{2} = 20 - \sqrt{2}\) Kiểm tra lại với ĐKXĐ, cả hai nghiệm đều thỏa mãn. Như vậy, nghiệm của phương trình ban đầu là \(x_1 = 20 + \sqrt{2}\) và \(x_2 = 20 - \sqrt{2}\). **Chú ý:** Phần còn lại của các câu hỏi không được giải trong lần trả lời này. Nếu bạn cần giải các câu hỏi khác, xin vui lòng yêu cầu mỗi lần một câu để có thể giải thích một cách chi tiết và rõ ràng.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com