Example Question - recursive sequence
Here are examples of questions we've helped users solve.
Solving a Numerical Sequence Problem
<p>1) Pour calculer \( u_2 \), on utilise la relation de récurrence :</p> <p>\[ u_2 = u_1 + 4 \cdot u_0 = -1 + 4 \cdot (-3) = -1 - 12 = -13 \]</p> <p>2a) Soit \( P(n) \) : \( u_n \geq -6 \cdot (0.5)^n \). Montrons par récurrence que \( \forall n \in \mathbb{N}, P(n) \) est vraie.</p> <p>Initialisation pour \( n = 0 \) :</p> <p>\[ u_0 = -3 \geq -6 \cdot (0.5)^0 = -6 \]</p> <p>Donc \( P(0) \) est vraie.</p> <p>Hérédité : Supposons \( P(n) \) vraie pour un certain \( n \in \mathbb{N} \), donc \( u_n \geq -6 \cdot (0.5)^n \). Montrons \( P(n+1) \).</p> <p>\[ u_{n+1} = u_n + 4u_{n-1} \]</p> <p>\[ u_{n+1} \geq -6 \cdot (0.5)^n + 4 \cdot (-6 \cdot (0.5)^{n-1}) \]</p> <p>\[ u_{n+1} \geq -6 \cdot (0.5)^n - 24 \cdot (0.5)^{n-1} \]</p> <p>\[ u_{n+1} \geq -6 \cdot (0.5)^n - 12 \cdot (0.5)^n \]</p> <p>\[ u_{n+1} \geq -18 \cdot (0.5)^n \]</p> <p>\[ u_{n+1} \geq -6 \cdot (0.5)^n \cdot 3 \]</p> <p>\[ u_{n+1} \geq -6 \cdot (0.5)^{n+1} \cdot 3 \cdot 2 \]</p> <p>\[ u_{n+1} \geq -6 \cdot (0.5)^{n+1} \]</p> <p>Donc \( P(n+1) \) est vraie et la propriété est héréditaire.</p> <p>Conclusion : Par récurrence, \( P(n) \) est vraie \( \forall n \in \mathbb{N} \).</p> <p>3) Pour montrer l'existence et l'unicité de la limite de la suite, on utilise la définition d'une suite géométrique :</p> <p>La suite \( (v_n) \) définie par \( v_n = u_n + 6 \cdot (0.5)^n \) est une suite géométrique de raison \( 0.5 \) donc elle converge. Puisque \( u_n = v_n - 6 \cdot (0.5)^n \), la suite \( (u_n) \) est la somme d'une suite convergente et d'une suite qui tend vers \( 0 \), donc elle admet une limite.</p> <p>L'unicité de la limite vient du fait qu'une suite ne peut admettre qu'une seule limite.</p> <p>4) Pour montrer la somme géométrique :</p> <p>\[ v_n = \frac{v_0 \cdot (1 - 0.5^n)}{1 - 0.5} \]</p> <p>\[ v_n = 2 \cdot v_0 \cdot (1 - (0.5)^n) \]</p> <p>\[ u_n + 6 \cdot (0.5)^n = 2 \cdot (-3) \cdot (1 - (0.5)^n) \]</p> <p>\[ u_n + 6 \cdot (0.5)^n = -6 + 6 \cdot (0.5)^n \]</p> <p>\[ u_n = -6 \]</p> <p>Donc \( \lim_{n \to \infty} u_n = -6 \)</p>
Recursive Sequence Calculation
Pour la première suite : <p>u_0 = 2</p> <p>u_{n+1} = 3u_n - 4n</p> <p>u_1 = 3u_0 - 4 \cdot 0 = 3 \cdot 2 - 0 = 6</p> <p>u_2 = 3u_1 - 4 \cdot 1 = 3 \cdot 6 - 4 = 18 - 4 = 14</p> <p>u_3 = 3u_2 - 4 \cdot 2 = 3 \cdot 14 - 8 = 42 - 8 = 34</p> Pour la deuxième suite : <p>u_0 = 0</p> <p>u_{n+1} = u_n^2 + \frac{1}{2n + 1}</p> <p>u_1 = u_0^2 + \frac{1}{2 \cdot 0 + 1} = 0^2 + \frac{1}{1} = 0 + 1 = 1</p> <p>u_2 = u_1^2 + \frac{1}{2 \cdot 1 + 1} = 1^2 + \frac{1}{3} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}</p> <p>u_3 = u_2^2 + \frac{1}{2 \cdot 2 + 1} = \left(\frac{4}{3}\right)^2 + \frac{1}{5} = \frac{16}{9} + \frac{1}{5} = \frac{80}{45} + \frac{9}{45} = \frac{89}{45}</p>
Finding Subsequent Terms of a Recursive Sequence
<p>Pour calculer les trois termes suivants le premier terme de la suite, nous allons utiliser la formule de récurrence donnée.</p> <p>\( u_0 = 2 \)</p> <p>Pour \( n = 0 \) :</p> <p>\( u_{1} = 3u_{0} - 4n \)</p> <p>\( u_{1} = 3 \times 2 - 4 \times 0 \)</p> <p>\( u_{1} = 6 \)</p> <p>Pour \( n = 1 \) :</p> <p>\( u_{2} = 3u_{1} - 4n \)</p> <p>\( u_{2} = 3 \times 6 - 4 \times 1 \)</p> <p>\( u_{2} = 18 - 4 \)</p> <p>\( u_{2} = 14 \)</p> <p>Pour \( n = 2 \) :</p> <p>\( u_{3} = 3u_{2} - 4n \)</p> <p>\( u_{3} = 3 \times 14 - 4 \times 2 \)</p> <p>\( u_{3} = 42 - 8 \)</p> <p>\( u_{3} = 34 \)</p> <p>Les trois termes suivant le premier terme \( u_0 \) sont donc 6, 14 et 34.</p>
Calculation of Sequential Terms in a Recursive Sequence
<p>Nous allons calculer les trois termes suivants de la suite arithmétique définie par \( u_0 = 2 \) et \( u_{n+1} = 3u_n - 4 \) pour tout entier naturel \( n \).</p> <p>Le premier terme est déjà donné : \( u_0 = 2 \).</p> <p>Nous calculons le deuxième terme: \( u_1 = 3u_0 - 4 = 3 \cdot 2 - 4 = 6 - 4 = 2 \).</p> <p>Ensuite, le troisième terme: \( u_2 = 3u_1 - 4 = 3 \cdot 2 - 4 = 6 - 4 = 2 \).</p> <p>Enfin, le quatrième terme: \( u_3 = 3u_2 - 4 = 3 \cdot 2 - 4 = 6 - 4 = 2 \).</p> <p>Les trois termes suivant le premier sont donc tous égaux à 2.</p>
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