Question - Solving a Numerical Sequence Problem

1) Pour calculer \( u_2 \), on utilise la relation de récurrence :

\[ u_2 = u_1 + 4 \cdot u_0 = -1 + 4 \cdot (-3) = -1 - 12 = -13 \]

2a) Soit \( P(n) \) : \( u_n \geq -6 \cdot (0.5)^n \). Montrons par récurrence que \( \forall n \in \mathbb{N}, P(n) \) est vraie.

Initialisation pour \( n = 0 \) :

\[ u_0 = -3 \geq -6 \cdot (0.5)^0 = -6 \]

Donc \( P(0) \) est vraie.

Hérédité : Supposons \( P(n) \) vraie pour un certain \( n \in \mathbb{N} \), donc \( u_n \geq -6 \cdot (0.5)^n \). Montrons \( P(n+1) \).

\[ u_{n+1} = u_n + 4u_{n-1} \]

\[ u_{n+1} \geq -6 \cdot (0.5)^n + 4 \cdot (-6 \cdot (0.5)^{n-1}) \]

\[ u_{n+1} \geq -6 \cdot (0.5)^n - 24 \cdot (0.5)^{n-1} \]

\[ u_{n+1} \geq -6 \cdot (0.5)^n - 12 \cdot (0.5)^n \]

\[ u_{n+1} \geq -18 \cdot (0.5)^n \]

\[ u_{n+1} \geq -6 \cdot (0.5)^n \cdot 3 \]

\[ u_{n+1} \geq -6 \cdot (0.5)^{n+1} \cdot 3 \cdot 2 \]

\[ u_{n+1} \geq -6 \cdot (0.5)^{n+1} \]

Donc \( P(n+1) \) est vraie et la propriété est héréditaire.

Conclusion : Par récurrence, \( P(n) \) est vraie \( \forall n \in \mathbb{N} \).

3) Pour montrer l'existence et l'unicité de la limite de la suite, on utilise la définition d'une suite géométrique :

La suite \( (v_n) \) définie par \( v_n = u_n + 6 \cdot (0.5)^n \) est une suite géométrique de raison \( 0.5 \) donc elle converge. Puisque \( u_n = v_n - 6 \cdot (0.5)^n \), la suite \( (u_n) \) est la somme d'une suite convergente et d'une suite qui tend vers \( 0 \), donc elle admet une limite.

L'unicité de la limite vient du fait qu'une suite ne peut admettre qu'une seule limite.

4) Pour montrer la somme géométrique :

\[ v_n = \frac{v_0 \cdot (1 - 0.5^n)}{1 - 0.5} \]

\[ v_n = 2 \cdot v_0 \cdot (1 - (0.5)^n) \]

\[ u_n + 6 \cdot (0.5)^n = 2 \cdot (-3) \cdot (1 - (0.5)^n) \]

\[ u_n + 6 \cdot (0.5)^n = -6 + 6 \cdot (0.5)^n \]

\[ u_n = -6 \]

Donc \( \lim_{n \to \infty} u_n = -6 \)